Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 20 из 25)
b2 + c2 = (2n1 + 1)2 + (2n2 + 1)2 = 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],
где в квадратных скобкахнечетное число, что и требовалось доказать
*******
Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4)):
= 
, где c2 + b2 ≠ 0, т.к. c≠ 0, b≠ 0, т.е. 
(5),где k – целое число, отличное от нуля, т.к. cи b взаимно простыецелые числа.
Из соотношений (4) и (5) определяем b2 и c2:
=> 
=> 
Откуда β = b2 + 2l-2k(8) - нечетное число(из (4)) при b– нечетном и 2l-2k- четном, т.к. 
≥ 3 – нечетное натуральное число.
Вывод:
1. Из соотношения (4) имеем:
(9) 
- нечетное число.
2. Из соотношения (5) имеем:
(10) 
пропорционально 2 (явно), т.е. 
- четное число.
Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах
, которая в дальнейшем нам очень пригодится.*******
Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и
. Учитывая соотношения (6) и (7), получим: 
,т.е.
(11),где
- целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для 
), могут быть выражены через другие целыечисла 
следующим образом:(12)
- нечетное число при 
- нечетном;(13)
- нечетное число при - нечетном;(14)
- нечетное число при - нечетном;(15)
- четное число.Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 иr=0 (при t =0
и 
- четные из (12) и (13), при r=0 
= 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению).Для простоты опять (как в утверждениях 1 и 2) обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.
= С 
= В 
= N 
= К ,и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1.
Условие1 (начало).
с2 = С
b2 = B
= N
Случай «+».
(12+)
- нечетное число при - нечетном;(13+)
- нечетное число при - нечетном;(14+)
- нечетное число при - нечетном;(15+)
- четное число.Казалось бы, все нормально: четность чисел в (12+), …, (15+) совпадают при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.
Однако не все так просто.
Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа
.Попробуем найти сумму 
, воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):
,т.е.
=> ( 
) пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36), 
!Т.е., вопреки «Выводу»,
является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при 
-четном.Однако, если
- четное, то (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) 
и (1) 
числа 
- четные, а потому не являютсяпопарно взаимно простыми целыми числами.Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых
решений.*******
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах, где 
- нечетное натуральное число.
********
Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».
Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному.Вывод тот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)
*********
Примечание
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 3.
********
Т.к. уравнение (11) симметрично для с2 и b2, (для уравнения 11 они равнозначны), тос2 и b2могут меняться своими выражениями (Cи В). Это свойство назовем «новым свойством 
». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.
Условие 2 (начало).