Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 4 из 25)
Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых
решений.*******
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Примечание
Осталось рассмотреть еще 14 случаев (пояснение ниже),рассматривающих «новые свойства 
», когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 1.
********
Уравнение (15)симметрично и для n и для
(для уравнения 15 они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (Nи К). Это свойство назовем «похожим свойством nи ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых nи меняются своими выражениями (Nи К )).Условие 3
c = C
b = B
n = К
N
« Похожие» случаи «+» и «-».
(16±) с = ± С = ± (
)(17±) b= ± В =± (
)(18´±) n= ± К = ± (
)(19´±) 
= ± N= ± (
)Согласно одному из Выводов (формула (14)) 
(явно) при
. Но это возможно, глядя на (19´±) = ±N= ±( ) только при t- четном, при которых в (16±) и (17±) cиb – четные, чего не должно быть.Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых
решений.*******
В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же = ± N= ± (
) и перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение следует)), мы придем к прежнему результату: cиb – четные,чего не должно быть.Это значит, что мы опять придем к противоречиюс нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых
решений.********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
********
Пояснение(почему не надо в Условии 3 затрагивать «новые свойства
»).Запишем Условия (1, …, 3).
Условие 1 Условие 2 Условие 3 Условие 2+3
с = С с =Bc = Cc =B
b = Bb = Сb = B=> b = C
n= Nn = Nn = К n = К
Если теперь поменять обозначения между собойв Условии 2+3 снаb, аbнаc
в верхних двух строчках и nна , а на nвнижних двух строчках, то вернемся снова к обозначениям в Условии 1, которое во 2-й части «Утверждения 1»нами будет исследовано до конца:
Условие 2+3 Условие 1
c =Bb = Bс = С
b = C=> с = С => b = B
n = К
n = N n = N
Вывод.
1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3,
Уравнение (1) 
( , 
- натуральные числа, где 
при 
- натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах 
, 
и 
таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
2. 1-я часть «Утверждения 1» (для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.
*********
Часть вторая(Утверждения1)
Возможны случаи: либо 
, либо 
.
(Об «Исключении» из общего правила)
Доказательство
Условие 1(продолжение).
Всего случаев 16. Два из них рассмотрели в 1-й части Утверждения 1 (Случаи «-» и «+»).
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки.
Пояснение.
Случаев всего 14, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки и число их равно числу Р перестановок из m= 4 элементов (c, b, nи ) по n= 1; 2; 3 элементов (плюсов (+) перед С, В, N и К) в каждом (по n = 0; 4 элементов ( Р = 1+1 = 2 ) мы уже рассмотрели - это 2 случая: Случаи «-» и «+» соответственно):
********
Случай 1.
(16) 
(17′) 
(18) 
(19)Тогда сумма
имеет вид: 
Учитывая (14) и (19), можно получить разность
: 
=> 
.Выразим из (25) и (26)
: