Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 24 из 25)
*********
Случай 8
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´), (31), (29´´´) и (24´), т.е.
(31´),
(29´´), 
, 
(24),где 
- взаимно простые целые нечетные числа.
Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.
Таким образом, уравнение (11) 
, где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) в следующих целых числах:
а) 
; b 
; 
; 
;
б) 
; 
; 
; 
.
**********
Вывод
Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:
а) ; b ; ; ;
б) ; ; ; .
********
Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 3 и его результатполностью совпадают с исследованием решений уравнения (11) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 2) и с его результатом.
Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2, Часть 2):
1. (12) 
2. (12´)
(30´)(13´)
(28) (13) 
(28´)(14)
(29) (14´) 
(29´)(15) 
(24) (15´) 
(24´)
3. (12)
(30´´) 4. (12´) 
(30´´´)(13´)
(28) (13) (28´)(14)
(29´´) (14´) 
(29´´´)(15´) (24´) (15) (24).
А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 3, Часть 2):
1. (12) 2. (12´)
(30´)(13´)
(28) (13) (28´)(14)
(29) (14´) (29´)(15) (24) (15´) (24´)
3. (12)
(30´´) 4. (12´) (30´´´)(13´)
(28) (13) (28´)(14)
(29´´) (14´) (29´´´)(15´) (24´) (15) (24).
Наблюдается полное совпадение результатов. То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.
*********
Нетрудно понять, что остальные случаи с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 3 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждений 1 и 2) никаких новых решений нам не дадут, кроме как:
либо , либо , либо c и bне являются целыми числами, либо c и b – четные числа, чего не должно быть.
********
Из этого набора решений уравнения (11), нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1) 
(1), где 
- нечетное натуральное число, т.е. либо , либо , которые таковыми и являются.
*******
Вывод: 2-я часть «Утверждения 3» доказана.
В результате исследования уравнения (1), мы имеем:
Вывод:
1. Уравнение (1) ( 
≥ 3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2m, гдеm = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах 
, 
и 
таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.
Возможны случаи: либо , либо .
2. «Утверждение 3»нами полностью доказано.
*******
Примечание
Понятно, что приведенное сокращенное доказательство «Утверждения 3» (со ссылкой на предыдущее доказательство Утверждения 2), где рассматривается уравнение al+ b4 = c4при 
≥ 3 – нечетном натуральном и q = 4 = 2 m, где m = 2, распространяется и на показатель степени q = 2 m, где m > 2 – натуральном.
**********
На основании доказательства справедливости «Утверждения 1», «Утверждения 2» и «Утверждения 3» вытекает и справедливость«Общего утверждения».