Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 6 из 25)
, 
(33´), целые числа.
********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39´´), (37), (38´´) и (33´), т.е.
(39´´´),
(38´´´), 
(37´), 
(33),где
- взаимно простые нечетные целые числа.*******
Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (15).
Ранее мы обозначили правые части уравнений (16),…, (19) буквами С, В, N, К, т.е
= С 
= В 
= N 
= К Тогда эти первые 4 случая следующие:
1. (16) 
2. (16´)
(39´)(17´)
(37) (17) 
(37´)(18)
(18´) 
(38´)(19) 
(33) (19´) 
(33´)
3. (16)
(39´´) 4. (16´) 
(39´´´)(17´)
(37) (17) (37´)(18)
(38´´) (18´) 
(38´´´)(19´) 
(33´) (19) (33)
*********
Рассмотрим еще 10 случаев.
5. с = С6. с = - С7. c= C8. c= - C
b = - Bb= Bb= - Bb= B
n= - Nn= Nn= - Nn= N
9. с = С. 10. с = -С 11. с = С 12. с = -С
b = Bb = -Bb = Bb = -B
n =- Nn = Nn = Nn =- N
13. с = С 14. с = -С
b = Bb =- B
n =- Nn = N
*******
Итак, рассмотрим случай 5.
Случай 5
(16) 
(17´) 
(18´) 
(19).Тогда сумма 
имеет вид:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность :
=> 
.Выразим из (25) и (26)
: 
=> 
=> 
.По условию
должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель 
.Т.о.,
имеют вид: 
, 
, а их сумма 
.Т.к. из (8)
, то 
=> 
.Из (19) с учетом (29) выразим
: 
, т.е. 
.Т.о.,
, 
, т.е. 
,
выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность 
:
т.к.
, т.е. 
(36´).(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n:
где
.Т.к. b+ c=2n, то b-2n= b- (b+ c) = - c= -1 => c= 1 (40).
Учитывая (34), получим
=> 
(38´).Теперь, с учетом (38´), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):
, т.е. 
(41).Таким образом, уравнение 
(15), решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19), в конечном счете, имеет следующие решения:
(41), , где - взаимно простые нечетные целые 
(40), (38´), числа*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41), (38´´) и (33), т.е.