Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма (стр. 17 из 25)
(14) 
(15′) ,которые также являются решениями уравнения
(11).
Тогда сумма
имеет вид: 
Учитывая (10) и (15), можно получить разность
: 
- 
=> 
.Выразим из (31) и (16)
: 
=> 
(32) 
=> 
(33).По условию 
должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель 
.
Т.о.,
имеют вид: 
(34), 
(35), а их сумма 
.Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то
и 
.Из (15´) с учетом (20) выразим 
:
, т.е. 
(24´).Т.о.,
, 
,где
, т.е. 
, 
,выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму 
:
т.к.
, т.е. 
.(Здесь чередование«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:
,т.к. из (20) получается 
.Итак, 
(28), что для целых чисел неприемлемо.
Этот случай нас не интересует.
*******
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26´), получим
=> 
(29´´).Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25´)):
, т.е. 
(30´´).Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:
(30´´), 
,
(28), (24´),
где 
- взаимно простые нечетные целые числа.
***********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположныепо знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.
(30´´´), => 
(30´´´), 
(29´´´), 
(28´), =>b= 
(28´), 
(24),
где 
- взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случаярешений уравнения (11).
Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:
= С 
= В 
= N 
= К. Тогда эти первые 4 случая следующие:
1. (12) 
2. (12´)
(30´)(13´)
(28) (13) 
(28´)(14)
(29) (14´) 
(29´)(15) 
(24) (15´) 
(24´)
3. (12)
(30´´) 4. (12´) 
(30´´´)(13´)
(28) (13) (28´)(14)
(29´´) (14´) 
(29´´´)(15´) (24´) (15) (24).
Рассмотрим еще 4 случая.
5. с2 = С 6. с2 = - С 7. c2 = C8. c2 = -C
b2 = - Bb2 = B b2 = - B b2 = B
= - N = N = - N = N 
*******
Итак, рассмотрим случай 5.
Случай 5.
(12), 
(13´),