Актуарнi розрахунки (стр. 15 из 51)

tlt'qx = tPx -1 + t'Px. .

Застосовуючи теорему Байєса про повну ймовірність, можна записати:

t + t'Px = Р(Тх > t) P(Tx + t>t' ІТх > t)

або

t + t'Px = tPx t'Px +1.

Закон дожиття

tPx tPx
Ix + t

tPx =
tPx =

У той же час

7l l'x + t їх

t/Atqx = x ■

Vx +1

At = =

lx Ix + t Ix + t

де jux+t миттєвий показник смертності у віці (х +t) років. У загальному виді
миттєвий показник смертності запишеться як

Iniz + f^-lnijT^- ^juydy

ҐІХ + ІЛ

Виділимо усередині однієї гомогенної групи, в даний момент часу, усіх людей у віці
х років. Нехай їх кількість дорівнює їх.

Ймовірне число тих, які живуть у віці (х+ t) років, якщо вважати дожиття кожного
застрахованого незалежною подією (крім випадку епідеміологічного зараження) буде:

lx +1 = tPx * їх.

Сукупність із їх складає закон дожиття.

Будемо вважати, що ЇЮ= 0, де (Ю- граничний вік таблиці).

4. Інші біометричні функції. Миттєвий показник смертності

Людина була взята під спостереження у віці х років і дожила до віку (х+t) років,
ймовірність того, що вона помре міжtut + At.

p[t < Тх < t + At/ Tx > і].

Отже,
Звідки

тим часом
Отже

p[t < Тх < t + At] = p[t < Tx] * p[t < Tx < t +At/ Tx > t].

p\<Tx <t + At/Tx >t = t^
1 - tPx

t/Atqx = tPx -1 + AtPx = -tPx x At.

t/Atqx _ - tPx'At

lx
l'x + t

Му

Якщо відомо ju , можна вивести:

\vydy

- fftydy

tPx = e x

5. Середня або очікувана тривалість життя

Середня очікувана тривалість життя для особи у віці х років - це математичне
очікування тривалості життя Тх.

Можна перевести це поняття як середнє число років життя групи з людей у віці х
років. Це середнє значення, залежно від того, розглядається ця група на початку або
наприкінці року, знаходиться між

L1+L2+- + L1 .

у К+1 К+2 + • • • + 1(0-1

ІХ

Скорочено, очікувана тривалість життя

^х —

їх

Середня тривалість життя, укладена між ех і ех+1, приймається рівною ех+~

Ймовірна тривалість життя — це таке значення 0 , при якому

2 їх 2

6. Таблиці смертності

Для того щоб одержати числове значення ймовірностей дожиття, необхідно
розглянути одну групу людей у різному віці, тобто створити таблицю смертності.

Після перепису населення, кількість смертей, що настали в різних вікових групах,
співвідносять із чисельністю населення відповідного віку.

Отже, показники ймовірності настання смерті у визначеному віці, трансформовані в
число тих, хто доживає до цього віку з довільної чисельності народжених (звичайно із 100
000 осіб).

Приклади таблиць смертності

Як приклад нижче наведені таблиці, які використовуються в Україні (таблиця 1 і
таблиця 2).

Ці таблиці є результатом демографічних досліджень, але одна ("Жінки") відноситься
до жіночого населення, інша (відповідно, "Чоловіки") - до чоловічого населення,
смертність якого, як ми уже зазначали, є вищою.

Ця практика спрямована не на те, щоб диференціювати тарифи за статтю, а на те,
щоб підштовхнути страховиків до обережності у використанні таблиці "Чоловіки" для
ризиків настання смерті як для жінок, так і для чоловіків, і таблиці "Жінки" для
визначення ймовірності дожиття як для чоловіків, так і для жінок.

Крім того, щоб врахувати збільшення тривалості людського життя через прогрес у
медицині, при операціях зі страхування довічної ренти, котрі страховики здійснюють на
дуже тривалий період, протягом якого можна очікувати значні зміни тривалості життя, -
при розрахунку цього виду зобов'язань повинні бути використані офіційні перспективні
таблиці смертності.

Малюнок 2.1. наводить графіки зміни числа осіб, що доживають.

Малюнок 2.2. ілюструє зміни дожиття для віку понад 60 років для 100000 осіб у віці
60 років.

Таблиці досвіду

Страховик може використовувати власні таблиці смертності, створені на основі
вивчення даних щодо своїх страхувальників. Це не дозволяється при страхуванні довічних
рент, але можливо для інших видів договорів, якщо таблиці підтверджені належним чином
актуарієм.

Страховик буде реєструвати кількість смертей у віці х роківDx і співвідносити їх з
відкоригованою відповідно до приведеного нижче алгоритму чисельністю
страхувальників.

Нехай

N0— чисельність застрахованих у віці х років на початку року;

N1— чисельність застрахованих у віці х років па кінець року;

Е — число застрахованих у віці х років, прийнятих на страхування протягом року;

S — число застрахованих, що вийшли із страхування через закінчення терміну дії
договору або розірвання договору.

Допустивши, що прийняття на страхування і вибування відбувалися в середині року,

число смертей повинно бути розділене на N0+^(E-S)Тим часом N1 = N0 - Е - S - Dx. Отже, E-S = N, - N„ + Dx.Nl-NO + Dx Nl + NO + Dx Відкоригована чисельність буде NO н = і річний коефіцієнт смертності буде прийнятий рівним 2Dxqx =Nl + NO + DxТаблиця 1 Чоловіки X	LX	X	LX
0	100000	51	76782
1	98712	52	75335
2	98554	53	73814
3	98461	54	72259
4	98377	55	70679
5	98310	56	68996
6	98255	57	67257
7	98204	58	65468
8	98158	59	63625
9	98117	60	61744
10	98070	61	59735
11	98027	62	57617
12	97987	63	55441
13	97949	64	53232
14	97908	65	51020
15	97856	66	48792
16	97790	67	46529
17	97712	68	44240
18	97613	69	41972
19	97485	70	39697
20	97328	71	37358
21	97127	72	34954
22	96908	73	32522
23	96660	74	30110
24	96383	75	27740
25	96078	76	25443
26	95753	77	23230
27	95414	78	21064
28	95051	79	18955
29	94677	80	16941
ЗО	94282	81	15016
31	93861	82	13210
32	93413	83	11497
33	92916	84	9839
34	92398	85	8350
35	91850	86	7051
36	91265	87	5844
37	90656	88	4731
38	89989	89	3765
39	89296	90	2955
40	88567	91	2286
41	87780	92	1747

42	86953	93	1311
43	86030	94	954
44	85084	95	686
45	84114	96	507
46	83068	97	391
47	81932	98	312
48	80706	99	258
49	79451	100	218
50	78169	101	183

Таблиця 2 Жінки X	LX	X	LX
0	100000	51	91472
1	99064	52	90879
2	98918	53	90248
3	98849	54	89585
4	98789	55	88861
5	98748	56	88086
6	98710	57	87247
7	98676	58	86338
8	98648	59	85393
9	98623	60	84390
10	98592	61	83315
11	98567	62	82154
12	98544	63	80896
13	98522	64	79550
14	98499	65	78097
15	98470	66	76502
16	98435	67	74772
17	98393	68	72967
18	98346	69	71063
19	98296	70	68999
20	98232	71	66769
21	98168	72	64375
22	98101	73	61827
23	98026	74	59116
24	97935	75	56231
25	97848	76	53202
26	97754	77	49998
27	97645	78	46612
28	97539	79	43117
29	97426	80	39516
30	97300	81	35867
31	97167	82	32159
32	97019	83	28361
33	96857	84	24775
34	96693	85	21490
35	96526	86	18305
36	96346	87	15245
37	96160	88	12455
38	95966	89	10025
39	95766	90	7889
40	95530	91	5933
41	95281	92	4366
42	95009	93	3226

О 10 20 ЗО 40 50 60 70 80 90 100Малюнок 2.1. Зміна числа доживаючих за віком 43	94731	94	2313
44	94428	95	1648
45	94108	96	1223
46	93758	97	918
47	93373	98	689
48	92964	99	518
49	92521	100	385
50	92018	101	252