Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 11 из 49)

3) множество допустимых наборов G ={(t T x U₀, , ₀, ( )⋅ , x( )⋅ )} содержит хотя бы один элемент;

4) множество допустимых программных стратегий принадлежит пространству функций, интегрируемых по Лебегу на интервале управления.

Тогда существует допустимый набор

t T x U x G , на котором

функционал I достигает минимума.

Доказательству теоремы предпошлем лемму.

Лемма 2. Пусть R:[t₀,t]→ K ⊂ Rⁿ – интегрируемая по Лебегу функция и множество K - выпуклый компакт. Тогда

1 t

^∫ R( )τ dτ∈K . (1)

_{t − t}0 t0

Доказательство. Известно [16], что для всякой интегрируемой по Лебегу функции R , определенной на интервале [t₀ ,t], найдется последовательность ступенчатых функций { }R_s , определенных и равномерно сходящихся на этом интервале к функции R , причем справедливо равенство

t t

( ) R( )τ dτ. (2)

t0 t0

Покажем, что включение (1) справедливо для всякой ступенчатой функции

R:[t₀ ,T]→ K . Напомним, что функция называется ступенчатой, если она принимает конечное число значений R⁽¹⁾, ,R^(k) ∈K . Обозначим

T_j = {τ∈[t₀,t]

R(τ) = R^{( j)}}, j =1, ,k .

Тогда

1 t ^∫ R( )τ dτ= . (3)

_{t − t}0 t0 _{t − t}0 j=1

Здесь _µ(T _j ) – мера множества T _j , j =1, ,k . Заметим, что

. t

Выражение (3) представляет собой выпуклую комбинацию векторов R^{( j)} ∈K , j =1, ,k . Отсюда следует справедливость включения (1) для случая, когда функция R ступенчатая. Доказательство общего случая использует предельный переход в (2) и условие компактности множества K .

Доказательство теоремы. B силу компактности множества Ξ функционал I ограничен на множестве допустимых наборов G . Из условия G ≠∅ следует существование для функционала I минимизирующей последовательности {(t₀^s ,T ^s ,x U₀^s , ^s ( )⋅ ,x^s ( )⋅ )}, (t₀^s ,T ^s ,x U₀^s , ^s ( )⋅ ,x^s (⋅))∈G , s =1,2, , т.е. такой последовательности, что

lims→∞ I t T^⎡⎣ 0^s , ^s ,x U₀^s , ^s ( )⋅ ,x^s ( )⋅ _⎦^⎤= ₍t T x U0, , 0^inf, ( )⋅ ,x_{( )}⋅ ∈₎ G ^{I t T x U}_⎣⎡ ₀, , ₀, ( )⋅ ,x(⋅⁾_⎦⎤ = I_∗, I_∗ < ∞ .

В силу 2) из последовательности {(t T₀^s , ^s , x x₀^s , ^s (T ^s ))}, s =1,2, можно извлечь сходящуюся. Не теряя общности, считаем, что

{(t T₀^s , ^s , x x₀^s , ^s (T ^s ))} → (t T₀⁰, ⁰, x₀⁰,x^T0 )∈Ξ .

Рассмотрим последовательность движений

{x^{( )s} ( )⋅ }, x^{( )s} ( )⋅ = x(⋅,t₀^s , x U₀^s , ^s ( )⋅ ), s =1,2,

Для всех номеров s =1,2, справедливо равенство

t t

^{x( )s} ( )t = ^{X t t⎡}⎢⎣ , ₀^s ⎦^⎤⎥ x₀^s +∫t X t[ ,τ] ( )B τ U ^s ( )τ τd +∫t X t[ ,τ] ( )C τ τd , t ∈^⎡_⎣t₀^s ,T ^s _⎦⎤ . (4)

0 0

Полагаем

⎧⎪ x0s , t ∈⎡⎣t0∗,t0s ) , x^{( )s ∗}( )t = _⎨^⎪ x^{( )s} ( )t , t ∈⎡_⎣t₀^s ,T ^s ⎤_⎦ , (5)

⎪ ( )s s s ∗

⎪_⎩x (T ), t∈(T ,T ⎤_⎦ .

Из компактности множеств Ξ, P и формул (4) (5) следует, что функции, образующие последовательность {_x^{( )s ∗} ( )⋅ }, равномерно ограничены и равностепенно непрерывны на отрезке ⎡_⎣t_0∗,T ^∗ ⎤_⎦ . По теореме Арцела (при необходимости следует перейти к подпоследовательности) эта последовательность равномерно сходится на отрезке ⎡_⎣t_0∗,T ^∗ ⎤_⎦ к некоторой абсолютно непрерывной функции x^0∗ ( )⋅ . Очевидно, что

x

.

Обозначим через x⁰ ( )⋅ сужение функции x^0∗ (⋅) на отрезке _⎣⎡t₀⁰,T ⁰ _⎦⎤ и докажем существование допустимой программной стратегии U ⁰ ( )⋅ , для которой почти всюду на отрезке ⎡_⎣t₀⁰,T ⁰ ⎤_⎦ выполняется равенство

x⁰ ( )t = A t x( ) ⁰ (t)+ B t U( ) ⁰ (t)+C t( ). (6)

Пусть t ∈(t T₀, ⁰ ) – точка, где функция x⁰ (⋅) имеет производную. Для достаточно больших номеров s =1,2, и малых положительных чисел h будет

выполнено вложение [t t, + h]⊂ ⎡_⎣t₀^s ,T ^s ⎤_⎦ . Из равенства

t t t

x( )

t0∗ t0∗ t0∗

следует

x(s) (t + hh)− x(s) (t) = 1h t h+_t ⎡A( )τ x( )s ( )τ + B( )τ U s ( )τ +C( )τ ⎤⎦dτ. (7) ∫ ⎣

В силу равномерной сходимости последовательности функций {x^{( )s} ( )⋅ } к функции x⁰ ( )⋅ , для любого ε> 0 и достаточно малого h > 0 , начиная с некоторого номера s , будет выполняться включение

A( )τ x^(s) ( )τ + B( )τ U ^s (τ)+C(τ)∈K x( ⁰ (t),ε),τ∈[t t, + h],

где

K x( ⁰ ( )t ,ε) = A t x( ) ⁰ (t)+ B t P( ) +C t( )+O(0,ε).

Множество K x( ⁰ (t),ε) является выпуклым компактом. Тогда по лемме 2 следует, что

1 t h+ s s 0

_h t _⎣A( )τ x ( )τ τ τ τ τ+ B( )U ( )+C( )⎤_⎦d ∈^{K x}( ( )t ,ε). ^∫ ⎡

Отсюда и из равенства (7) выводим

x(s) (t + h)− x(s) (t) 0

∈ A t x( ) ( )t + B t P( ) +C t( )+O(0,ε). h

Переходя в нем к пределу при s → ∞, получим

x⁰ (t + h)− x⁰ (t) ₀

∈ A t x( ) ( )t + B t P( ) +C t( )+O(0,ε). (8)

h

Из существования производной функции x⁰ (⋅) в точке t вытекает возможность предельного перехода в левой части равенства (8) при h → 0. В результате такого перехода получим

x⁰ ( )t ∈ A t x( ) ⁰ (t)+ B t P( ) +C t( )+O(0,ε).

Отсюда в силу произвольности ε> 0 выводим

x⁰ ( )t ∈ A t x( ) ⁰ (t)+ B t P( ) +C t( ).

Итак, установлено, что для каждого момента времени t ∈⎡_⎣t₀⁰,T ⁰ ⎤_⎦, в который существует производная функции x⁰ (⋅), найдется вектор u⁰( )t ∈P, удовлетворяющий равенству (6). По лемме об измеримом выборе [31] функция u⁰ (⋅) может быть выбрана интегрируемой по Лебегу. Допустимую программную стратегию U ⁰ ( )⋅ отождествим с функцией u⁰ (⋅).