Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 34 из 49)
⎢⎣t0 ⎥⎦ ⎢⎣t0 ⎥⎦
Второй этап процедуры, состоящий в построении «минимального» элемента h0 ()⋅ , сводится к задаче математического программирования следующего ви-
да:
Tn nn ⎡T⎤ 
∫ ∑l hi [ ]i ( )τ ,∑l hi [ ]i ( )τ τd = ∑ ⎢∫ 
h[ ]i ( )τ , h[ ]j ( )τ τd ⎥ l li j → min, l∈L.t0i=1 i=1i j, =1 ⎢⎣t0 ⎥⎦
Или по-другому:
n n
i∑, j=1αijlil j → min, ∑i=1 cili =1,
где
T
αij = ∫ h[ ]i ( )τ , h[ ]j ( )τ τd , ,i j =1, ,n. (2)t0
⎛l10 ⎞
⎜ ⎟
Пусть вектор l 0 = ⎜ ⎟ – решение этой задачи. Тогда «минимальный» элемент
⎜⎝ln0 ⎟⎠
вычисляется по формуле
n h
l h .i=1
Заключительный третий этап построения оптимального управления снова сводится к решению изопериметрической задачи вариационного исчисления
tT∫ u( )τ , h0 ( )τ dτ→ max, tT∫0 u( )τ , u( )τ dτ= ( 10 )2 .0 ρ
Ее решением является вектор-функция
0 1 0 1
U ( )⋅ = −
h ( )⋅ , µ∈R , 2µгде
⎡T ⎤ 
µ ⎢∫
h0 ( )τ , h0 ( )τ dτ⎥ ρ0 = − .⎢⎣t0 ⎥⎦
Таким образом, оптимальное управление, решающее задачу теории оптимального управления, имеет вид
U
h l h h , (3)(ρ0 ) (ρ0 ) i=1 i=1
0 li0
где νi =
2 ,i =1, ,n . Очевидно, что(ρ0 )
0 ⎡T 0 0⎤1
I U⎡⎣ ( )⋅ ⎤⎦ = ⎢⎢⎣t∫0 U ( )τ , u ( )τ τd ⎥⎦⎥ = 
ρ0 .Воспользовавшись соотношениями (3), укажем другой способ формирования оптимального управления, который быстрее и проще приводит к цели. Подставив выражение (3) в равенство (1.3), получим
Tnn Tn 
ci = ∫ h[ ]i ( )τ ν τ τ ν, ∑ 0j h[ ]j ( ) d = ∑ 0j ∫ h[ ]i ( )τ , h[ ]j ( )τ τ ναd = ∑ 0j ij , i =1, ,n . (4)t0=1j=1 t0 j=1 j
Таким образом, решение задачи об оптимальном управлении можно начинать непосредственно с решения системы линейных алгебраических уравнений
(4), а оптимальное программное управление вычислять по формуле (3).
Итак, оптимальное управление для случая минимизации «энергии» единственно, непрерывно в каждой точке интервала [t0 ,T], пропорционально «минимальному» элементу h0 ()⋅ и зависит линейно от краевых условий. Пример 3*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект
x1 = 2x1 + 2x2 −30x3 +u1, x2 =10x1 − x2 −35x3 +u2, x3 = 2x1 − x2 + x3 +u3, t0 = 0,T =1;
x10 = −3, x20 = 2, x30 =1; xT1 = −80.7746, xT 2 = −147,179, xT3 = −8.94415;
⎡ 1 ⎤ 
I U⎣⎡ ( )⎦⎤ u ( ) u ( ) u ( ) . (5)
⎣ 0 ⎦
В рассматриваемом примере дифференциальные уравнения движения динамического объекта и начальное положение фазового вектора взяты из примера 2.3. Конечное положение фазового вектора совпадает с той точкой фазового пространства, в которую переводит в конечный момент времени фазовый вектор оптимальное управление из примера 2.3.
Последовательно вычисляем
⎛ x11 [t,τ] x12 [t,τ] x13 [t,τ]⎞
X t[ ,τ] = ⎜⎜ x21 [t,τ] x22 [t,τ] x23 [t,τ]⎟⎟, H t[ ,τ] = X t[ ,τ]B = X t[ ,τ],
⎜⎝ x31 [t,τ] x32 [t,τ] x33 [t,τ]⎟⎠
⎛ x11 [1,τ]⎞ ⎛ x21 [1,τ]⎞ ⎛ x31 [1,τ]⎞
h[ ]1 ( )τ = ⎜⎜ x12 [1,τ]⎟⎟ , h[ ]2 ( )τ = ⎜⎜ x22 [1,τ]⎟⎟ , h[ ]3 ( )τ = ⎜⎜ x32 [1,τ τ]⎟⎟, ∈[0,1],
⎜⎝ x13 [1,τ]⎠⎟ ⎝⎜ x23 [1,τ]⎟⎠ ⎝⎜ x33 [1,τ]⎠⎟
1 ⎛α α α11 12 13 ⎞ ⎛4770.34 8405.45 469.812⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ αij = ∫h[ ]1 ( )τ , h[ ]i ( )τ τd , ,i j =1,2,3 ⇒ ⎜α α α21 22 23 ⎟ = ⎜8405.45 14824.4 832.786⎟. 0 ⎜⎝α α α31 32 33 ⎟⎠ ⎜⎝469.812 832.786 48.3062⎟⎠
⎛c1 ⎞ ⎛ xT1 ⎞ ⎛ x10 ⎞ ⎛−67.4743⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜c2 ⎟ = ⎜ xT 2 ⎟− X [1,0]⎜ x20 ⎟ = −⎜ 115.885⎟.
⎝⎜c3 ⎠⎟ ⎝⎜ xT3 ⎟⎠ ⎜⎝ x30 ⎟⎠ ⎜⎝−5.34546⎠⎟
Запишем систему линейных алгебраических уравнений (4)
α11 1ν αν αν+ 12 2 + 13 3 = c1, αν αν αν21 1 + 22 2 + 23 3 = c2, . αν αν αν31 1 + 32 2 + 33 3 = c3
Ее решением будут числа
ν10 = 0.0682083, ν20 = −0.0954224, ν30 = 0.871024 .
Тогда оптимальное управление определяется по следующей формуле:
U
t h h h t . Вычислим функционал (5) на оптимальном управлении
0 ⎡ 1 0 0⎤
I U⎣⎡ ( )⋅ ⎦⎤ = ⎢ ∫ U ( )τ ,U ( )τ τd ⎥ =1.34153. ⎣ 0 ⎦
Заметим, что для оптимального управления из примера 2.3 функционал (5) принимает значение 3 =1.73205 >1.34153. Такой результат является естественным, поскольку оптимальное управление в примере 2.3 определялось из условия минимума другого критерия, а не функционала (5). Проверим проведенные вычисления. Покажем, что полученное управление переводит фазовый вектор из положения x0 в положение xT за время [0,1]. Действительно проинтегрируем систему дифференциальных уравнений