Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 35 из 49)

x₁ = 2x₁ + 2x₂ −30x₃ +U₁⁰ (t), x₂ =10x₁ − x₂ −35x₃ +U₂⁰ ( )t , x₃ = 2x₁ − x₂ + x₃ +U₃⁰ ( )t

с начальными условиями x₁₀ = −3, x₂₀ = 2, x₃₀ =1. В результате получим

⎛0.000303⎞

x⁰ ( )1 − x_T = ^⎜⎜0.000484^⎟⎟ ≈ 0 .

^⎜⎝0.000011^⎟_⎠

Пример 4*. Дифференциальные уравнения движения динамического объекта имеют вид

x₁ = x₃,

x₂ = x₄ ,

x₃ = (cost x) ₃ +tx₄ +u₁,

1

x₂ =

x₃ +(sint x) ₄ +u₂ , t +1 t₀ = 0,T =1,

x₁₀ = x₂₀ = x₃₀ = x₄₀ = 0, x_T1 = 0.640532, x_{T 2} = 0.491302, x_T3 =1.61672, x_{T 4} =1.31002,

⎡ ¹ ⎤

I U_⎣⎡ ( )⎤_⎦ u ( ) u ( ) . (6)

⎣ 0 ⎦

В рассматриваемом примере дифференциальные уравнения движения динамического объекта и начальное положение фазового вектора взяты из примера 2.7. Конечное же положение фазового вектора совпадает с той точкой фазового пространства, в которую переводит в конечный момент времени фазовый вектор оптимальное управление из примера 2.

Последовательно вычисляем

⎛ x₁₁ [t,τ] x₁₂ [t,τ] x₁₃ [t,τ] x₁₄ [t,τ]⎞ ⎛0 0⎞ ⎛ x₁₃ [t,τ] x₁₄ [t,τ]⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

X t[ ,τ] = ⎜⎜ xx3121 [[tt,,ττ]] xx₃₂₂₂ [[tt,,ττ]] xx₃₃₂₃ [[tt,,ττ]] xx₃₄24 [[tt,,ττ]]⎟⎟, H t[ ,τ] = X t[ ,τ^]⎜⎜10 00⎟⎟ = ⎜_⎜ x_x3323 [[_tt_,,_ττ]] xx₃₄24 [[tt,,ττ]]⎟⎟

⎜⎜⎝ x41 [t,τ] x₄₂ [t,τ] x₄₃ [t,τ] x44 [t,τ]⎟⎠⎟ ⎜⎜⎝0 1⎟⎟⎠ ⎝⎜⎜ x43 [t,τ] x44 [t,τ]⎟⎟⎠

⎛ x [1,τ]⎞ ⎛ x [1,τ]⎞

_h[ ]1 ( )_{τ =} ⎛ x13 [1,τ]⎞ _{, h}[ ]2 _τ

14 1,τ

α_ij

⎛ x₂₃ [1,τ]⎞ _{[ ]}3 ^{33 [ ]4 43}

= , h τ = , h τ = , τ∈[0,1],

24 [1,τ] 34 [1,τ] ₄₄ [1,τ]

1

= ∫h^{[ ]1} ( )τ , h^{[ ]i} ( )τ τd , i j, =1,2,3,4 ⇒

0

⎛α α α α11 12 13 14 ⎞ ⎛0.766436 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜α α α α21 22 23 24 ⎟ = ⎜0.303602 ⎜α α α α31 32 33 34 ⎟ ⎜ 1.51071 ⎜⎜α α α α41 42 43 44 ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝0.779061 ⎝

0.303602 0.557218 0.764328 1.12012

1.51071 0.764328 3.3364 1.89574

0.779061⎞ ⎟ 1.12012 ⎟ , 1.89574 ⎟ ⎟ 2.6037 ⎟⎠

⎛c₁ ⎞ ⎛ x_T1 ⎞ ⎛ x₁₀ ⎞ ⎛0.640532⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ T 2 ⎟− X [1,0]⎜ x20 ⎟ = ⎜0.491302⎟. c x

⎜c₃ ⎟ ⎜ x_T3 ⎟ ⎜ x₃₀ ⎟ ⎜ 1.61672 ⎟

⎜⎜⎝c4 ⎟⎟⎠ ⎜⎜⎝ xT 4 ⎟⎟⎠ ⎝⎜⎜ x40 ⎟⎠⎟ ⎜⎜⎝ 1.31002 ⎟⎟⎠

Запишем систему линейных алгебраических уравнений (4)

α11 1ν αν αν αν+ 12 2 + 13 3 + 14 4 = c1, αν αν αν αν21 1 + 22 2 + 23 3 + 24 4 = c2,

αν αν αν αν31 1 + 32 2 + 33 3 + 34 4 = c3, αν αν αν αν41 1 + 42 2 + 43 3 + 44 4 = c4.

Ее решением будут числа

ν₁⁰ = −0.982227, ν₂⁰ = −0.833006, ν₃⁰ = 0.790821, ν₄⁰ = 0.579604 .

Тогда оптимальное управление определяется по следующей формуле:

U

t h h h h t .

Вычислим функционал (5) на оптимальном управлении

⎡ 1 ⎤

0_{0 0}

I U⎡_⎣ ( )⋅ ⎤_⎦ = ^⎢ ∫U ( )τ ,U ( )τ τ^d ⎥ = 0.999712.

⎣ 0 ⎦

Заметим, что для оптимального управления из примера 2.7 функционал

(6) принимает значение 1.0 > 0.999712. Такой результат является естественным, поскольку оптимальное управление в примере 2.7 определялось из условия минимума другого критерия, а не функционала (6).

Проверим проведенные вычисления. Покажем, что полученное управление

U ⁰ ( )⋅ переводит фазовый вектор из положения x₀ в положение x_T за время [0,1]. Действительно проинтегрируем систему дифференциальных уравнений

x₁ = x₃,

x₂ = x₄ ,

x₃ = (cost x) ₃ +tx₄ +U₁⁰ (t),

1 0

x₂ =

x₃ +(sint x) ₄ +U₂ ( )t , t +1

с начальными условиями x₁₀ = x₂₀ = x₃₀ = x₄₀ = 0. В результате получим

⎛ −1.68561⎞

⎜ ⎟ x

x .

⎜ −1.6007 ⎟

⎜⎜⎝−2.40392⎟⎟⎠

4.4. Управление по критерию «минимум силы». Конкретизируем процедуру построения оптимального управления, описанную выше, для случая, когда минимизируемый функционал имеет вид

I u⎡_⎣ ( )⋅ ⎤_⎦ = vrai max u( )τ = vrai max u( )τ τ, u( ) . (1)

τ∈[t T0, ]τ∈[t T0, ]

В случае, когда вектор управляющих параметров представляет собой силу (обобщенную силу), функционал (1) оценивает наибольшее значение по модулю этой силы. Отсюда следует вынесенное в заголовок параграфа название рассматриваемого функционала. Нетрудно видеть, что функционал (1) удовлетворяет условиям 1)-3) пункта 4.2.

Для реализации первого этапа процедуры построения оптимального управления необходимо решить следующую задачу:

T

t^∫0 u( )τ , h( )τ τd → max, vrayτ∈_[t T0max, _] u( )τ τ, u( ) =1. (2)

Максимум интеграла в (2) достигается, когда подынтегральная функция принимает максимальное значение почти всюду на промежутке [t T₀, ]. Максимальное значение этой функции можно получить, решив следующую задачу математического программирования:

u h, → max, u u, =1, u h, ∈R^s . (3)

Максимальным значением целевой функции в (3) служит величина h h, . Тогда норма на пространстве Ω[t₀ ,T] определяется формулой

T h( )⋅ = ∫ h( )τ , h( )τ τd .

t₀

Второй этап процедуры – построение «минимального» элемента h⁰ (⋅) – сводится к задаче математического программирования следующего вида:

T n n T n

∫ ∑l h_i ^{[ ]i} ( )τ , ∑l h_i ^{[ ]i} ( )τ τd = ∫∑ h^{[ ]i} ( )τ , h^{[ ]j} ( )τ ll d_{i j} τ→ min, l∈L,

t₀ =1 i=1 t₀ i j, =1 i

⎛l10 ⎞

⎜ ⎟

Пусть вектор l ⁰ = ⎜ ⎟ – решение этой задачи. Тогда «минимальный» элемент и

⎜⎝ln0 ⎟⎠

его норма вычисляются по формулам

n T

h l h ⁰ h⁰ ( )τ , h⁰ ( )τ τd

i=1 t₀

соответственно.