Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 40 из 49)

l20 = − u^2 ;

DoAu = è1 −1000.u^2 è ^A@ @ ^D uD;DE

m10 = u;m20 = − 1 − u^2,P

m20 E;If P > S,S @ D m20 ,

",l10," ","l₂₀=",l20,

l₁₀ D

Построение оптимального управления

f2^2, ;

x1@t@DD<,x2@D D8 @@ D<<D< 88

@8

Координаты фазового вектора в конечный момент времени

8

x1 1 ,x2 1

8

45.817,15.8054@ D ^@<D<

Вычисление финального расстояния

F ϕ_ =

@HHx1^D@1 DL^2L^ ₂1;

NDSolve y1' t,

y2' t^@8D y1@^@@@D<t^DDD<<+

2 ^∗ 8^@ @^D Dê @ D ^@ @^D Dê0,y2@0^D< 0<,

t ,

y2 t_ .ReshY,y2

Координаты фазового y1 1 ,y2 1 @ D @ D<

финального расстояния

FY ϕ_ =

@y1^D@1D − y2@1D − 30 − 3 ∗ Sin@^ϕDL^2L^{^}

1₂;

FindMinimumHH

811.923^,8ϕ → −^1.78491@ @_<<D ⁸ Пример<^D 2.6.

Построение фундаментальной матрицы Коши

Resh1 =

DSolve x11' t 2 ∗ x11 t + 9 ∗ x21'^@8@DtD x11^@@^D@D<tD ⁺ D2 ∗ x21^@ @Dt, t ,x21 t ,t ; x12' t 2 ∗ x12 t + 9 ∗ x22 t ,

88

= _Jx22'x11t@8@Dtt,D8x12x12@@@D@D<ttD<D + D82@∗Dêx22@@@DD<tD 8 @@DD<<@DDê <,@ Dê < x12 t ,x22 t ,t ;

x118 @@ x12 t , x21 t , X_x21@ D<Dê@@tDD x22@@tDDNê.t → 1 − τ x11 t .Resh1,x12 t .Resh2,x21 t .Resh1,x22 t .Resh2 ;

Построение подынтегрального и внеинтегрального выражений функции

ипсилон

двух ветвей

l₁₀ 0.304 l 0.952672 Eps0 9.03586

Анализ оптимального управления

τ → t,l1 → l10,l2 → l20<

Graphics

Plotz2t , t,0,1 ,PlotRange → −4,0

D 8 < -0.5 0.2 _0.4 80.6 _0.8<D

-1

-1.5

-2 -2.5

Graphics

Определение момента переключения

FindRoot z1 t 0, t, 0,1

Построение@ @< D оптимального8 8 управления<<D

t _→ 0.36245

U10 t_ ,U20 t_ = −Sign z1 t , −Sign z2 t Plot@U10^D@tD,^@8t,0,1D< ⁸<,AxesLabel@ @ DD^→ 8"t","U@ 1"^@<DDD<

@ U1

Graphics

Plot@U20@tD,8t,0,1<,AxesLabel ^→ 8"t","U2"<,PlotRange ^→ 8−1,1<D

Graphics

Интегрирование уравнений движения для оптимального управления

Graphics

Координаты фазового вектора в конечный момент времени

x1 1 ,x2 1

53.2155,18.4742@ D= @ D< − < − ∗ ϕ + − − ∗ ϕ

Вычисление финального расстояния

¹

ϕ_ x1 1 50 2 Cos ^2 x2 1 30 3 Sin ^2 ^

; FindMinimumHH @@FD@ϕD, ,0,2@ DL<D H @ D @ DL L

2

ϕ → −1.35749 произвольного

системы уравнений с введенным управлением

NDSolve y1' t 2 ∗ + V1, 888 y2'@@DD<t@8D 8y1@@@@D<tDDD<<+8 ∗ 8 <@DDDê D 0@,yDê2@0D 0<<,

.ReshY,y2 t .ReshY

@Координаты фазового вектора в конечный момент времени

y1 1 ,y2 1

858.3336,19.866@ D @ D<

финального расстояния

FY 50 − 2 ∗ Cos ϕ ^2 + y2 1 − 30 − 3 ∗ Sin ϕ ^2 ^

¹;

FindMinimum@ D HH @FY@ @D << @ DL<D H @ D @ DL L 2

10.5125, ϕ→−1.00394

8

Пример 2.7.

Построение фундаментальной матрицы Коши

Resh1 =

NDSolve x11' == x41 t , x31' A9, @ D