Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 3 из 49)

⎜⎜⎜⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜x_xxx₁₂465₃⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ₁ −_{IcAIA B}B1_cB1 _{B 00} − _c2 _I(B_IIcB+B2_B2+_IC_IC ) _{00 00 00}⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜_xxx165₂4₃⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟+⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ _I1₀00₀A _I1000₀C ⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎛⎜⎜⎜⎝_uu₁2⎞⎠⎟⎟⎟⎟.

⎜⎜

⎜⎝⎜⎜ ⎟

Заметим, что в разобранном примере математическая модель, представленная системой дифференциальных уравнений (8), адекватна физическому объекту только в пределах деформаций, удовлетворяющих закону Гука, т.е. ес-

ли фазовые координаты x₁,x₂,x₃ достаточно малы по абсолютной величине.

К дифференциальным уравнениям вида (2) можно прийти и в результате линеаризации исходных нелинейных дифференциальных уравнений движения объекта. Опишем процедуру линеаризации.

Пусть математической моделью управляемого динамического объекта служит система нелинейных дифференциальных уравнений

y =Y t y v( , , ) , t ∈[t T₀, ], y ∈ Rⁿ, v ∈ R^r . (9) Относительно функции Y :[t₀ ,T]× R^n+r → Rⁿ предполагается существование непрерывных частных производных не ниже второго порядка включительно по каждому из аргументов.

Допустим, что некоторой функции _v^∗ :[t T₀, ]→ R^r отвечает решение y^∗()⋅ = y^∗(⋅,t₀ , y₀ ,v^∗()_⋅ ) дифференциального уравнения (9), удовлетворяющее начальному условию y t( 0)= y₀ . Предположим, что именно эта функция y^∗ (⋅) является требуемым законом движения для управляемого объекта. Однако при физической реализации указанного управления v^∗ (⋅) закон движения y()⋅ реального динамического объекта вследствие ряда факторов (неадекватность математической модели, наличие неконтролируемых возмущений, невозможность в точности удовлетворить начальным условиям и др.) будет отличаться от идеального движения y^∗ ()⋅ . Для реализаций управляющих воздействий и отвечающих им движений примем следующее представление:

y(⋅)= y ^∗ (⋅)+ x(⋅), v(⋅)= v^∗ (⋅)+ u(⋅). (10) Здесь величины x()⋅ , u()⋅ полагаются малыми. Подставим выражения (10) в уравнения (9). В результате получим

y^∗( )t + x( )t = Y(t, y^∗(t)+ x(t),v^∗(t)+ u(t)), t ∈[t₀,T]. (11) С точностью до величин второго порядка малости по отношению к x(⋅) , u(⋅) из (11) выводим

y^∗ ( )t + x( )t =Y ( ) ( ) [ ,T]. y v

Обозначая

A( )t =

^∂ Y(t, y^∗ ( )t ,v^∗ ( )t ), B( )t = ^∂ Y(t, y ^∗ ( )t ,v^∗ ( )t ), t∈[t₀ ,T] (12)

∂y ∂v

и учитывая, что

y^∗( )t = Y (t, y^∗(t), v^∗(t)), t ∈ [t₀ ,T ],

приходим к уравнениям (2), в которых C t( )= 0, t ∈[t T₀, ].

Пример 3*. На горизонтальный плоскости находится двухзвенный механический манипулятор, каждое звено которого представляет собой абсолют-

но жесткий стержень длиной

l_i ,i =1,2. Первое звено соединено с неподвижным основанием манипулятора вращательной парой O₁ , а со вторым звеном – враща-

Рис. 3 тельной парой O₂ . Масса схвата

манипулятора – m , центр масс i-го звена находится в середине стержня – точке C_i , его масса – m_i , момент инерции i-го звена относительно своего центра масс – I_i ,i =1,2. В соединительных парах могут развиваться управляющие вращательные моменты, соответственно, v₁ и v₂ ,

На горизонтальной плоскости, в которой расположен манипулятор, введем прямолинейную ось O₁ x. Обозначим через ϕ_i угол, образованный i-м звеном манипулятора, i =1,2, с осью O₁ x. Запишем дифференциальные уравнения движения манипулятора в форме уравнений Лагранжа второго рода, в которых в качестве обобщенных координат берутся углы ϕ_i ,i =1,2 . Кинетическая энергия манипулятора определяется по формуле

T = T₁ + T₂ + T_c , (13)

где T_i – кинетическая энергия i-го, i =1,2, звена, а T_c – кинетическая энергия схвата манипулятора. Последовательно вычисляем

1 ( 2 2₁ )( 2 2 2 ) 4I1 + m1l1² 2

T₁ ⁼ I₁ϕ₁ + m₁v_C ⁼4I₁ϕ₁ + m₁l₁ϕ₁ = ϕ₁ ,

28

T2 =

(I 2ϕ22 + m 2 vC22 )= [4I 2ϕ22 + 4m 2 l12ϕ12 + m 2 l22ϕ22 + 4m 2 l1l2ϕ1ϕ2 cos(ϕ1 −ϕ2 )],

Tc =

mvc2 = m[l12ϕ12 + l22ϕ22 + 2l1l2ϕ1ϕ2 cos(ϕ1 −ϕ2 )].

Подставляя найденные величины энергий составных частей манипулятора в (13), находим

T = 1ϕ₁² [l₁² (m₁ + 4m₂ + 4m)+ 4I₁ ]^{+ 1}ϕ₂² [l₂² (m₂ + 4m)+ 4I ₂ ]+ (2m + m₂ )l₁l₂ϕ₁ϕ₂ cos(ϕ₁ −ϕ₂ ).

8 8

Введем обозначения

a = 1 [l₁² (m₁ + 4m₂ + 4m)+ 4I₁ ], b = ¹ [l₂² (m₂ + 4m)+ 4I ₂ ], c = (2m + m₂ )l₁l₂ .

4 4

Тогда выражение для кинетической энергии манипулятора принимает вид

T ⁼

[aϕ₁² + 2cϕ₁ϕ₂ cos(ϕ₁ −ϕ₂)+ bϕ₂²].

Справедливы равенства

∂T d ∂T

= aϕ₁ + cϕ₂ cos(ϕ₁ −ϕ₂ ), = aϕ₁ + cϕ₂ cos(ϕ₁ −ϕ₂ )− cϕ₂ (ϕ₁ −ϕ₂ )sin(ϕ₁ −ϕ₂ ),

∂ϕ₁ dt ∂ϕ₁

∂T d ∂T

= bϕ₂ + cϕ₁ cos(ϕ₁ −ϕ₂ ), = bϕ₂ + cϕ₁ cos(ϕ₁ −ϕ₂ )− cϕ₁(ϕ₁ −ϕ₂ )sin(ϕ₁ −ϕ₂ ),

∂ϕ₂ dt ∂ϕ₂

∂T = −cϕ₁ϕ₂ sin(ϕ₁ −ϕ₂ ), ∂T = cϕ₁ϕ₂ sin(ϕ₁ −ϕ₂ ). (14)