Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 39 из 49)

−8 +0.845845tCos t +2.Sin t −0.533429tSin t ,

2.Cos t −0.533429tCos t +3.Sin t −0.845845tSin t ,

2.0562Cos t −1.29673Sin t ,−1.29673Cos t −2.0562Sin t

ParametricPlot x10 t ,x20 t , t,0, π ,

AxesLabel ^→ 8^"x@81^","x@2D^"<D @ D< 8 <

Graphics

Исследование поведения решения сопряженной системы

Plot ψ10 t , ψ20 t , t,0, π ,

AxesLabel@8 @ →D8"t","@ D<ψ1,ψ28"<D <

Graphics

Вычисление оптимального значения функционала

3 ∗ x10 π ^2 + 2 ∗ x20 π ^2

0.56252@ D @ D

Проверка постоянства функции Понтрягина

Q@t_20D ^{= ψ}10@tD^∗ik@x20D @tèD ^{+ è}@^ψD @ D ^{+ ψ}@ D y{^2 ^y{ +

ψ t ∗ik−8x10 t + ψ20 ;

t

Graphics

Вычисление значения функционала на произвольном управлении

Srav =

NDSolve

@y1D<^DtAt_DD^D +8y2^è@@t^HDD<<@+ ^@Dè^D8=@8^LDê@_@D_Dψ^H10@t@^@D₊D<+^D@0.1_ψ20Dê₈@t^LD − 0.1<<EL^2 , t

− @^{@ ψ10 t 0.1 ^2} ,

y1 0 == −3,y2 0 2 , y1 t ,y2 t , t,0, π ;

y1 t_ ,= y1 t .Srav,y2 t .Srav ;

388∗ y1@@πD^2 + 2 y2@ D^2

0.598124

Пример 2.3.

Интегрирование сопряженной системы с граничными условиями

Sopr = DSolve@

@

, tD,

,

tD ψ1 t_ , t_ , ψ3@ D<<@ D<=

Re.Sopr , Re @ Dê D

@ @ Dê D<решения сопряженной системы

Plotψ1 t , t,0,1 , AxesLabel@ D →88"t","ψ<1"<D

ψ₁

Graphics

Plotψ2 t , t,0,1 , AxesLabel@ D →88"t","ψ<2"<D

ψ₂

Graphics

Plotψ3 t , t,0,1 , AxesLabel@ D →88"t","ψ<3"<D

700ψ3

Graphics

Определение момента переключения управления

FindRoot ψ1 t 0, t,0.6,0.8 t → 0.741061@ @<D 8 <D

Интегрирование основной системой с полностью определенными оптимальными управлениями и с начальными условиями

Osn =

NDSolve@

x2' t 10 x1 t x2 t 35 ∗ x3 tD −

1,

8x1t_ D⁻, 3.,x2^@@0DD 2^@,x^D3@0D@⁼⁼<^DD1.<,

88x1 @ ^DDD<@@ DêDê

@ D D<, @@ DêD<< = D x1^@,x2 t ,x3 t ;

Re@@x1 t,

8Re@x3 ^t

Вычислениеоптимального значения функционала

x1 1 + 2 ∗ x2 1 − x3 1

−_366.188@ D @ D @ D

Сравнение с неоптимальным управлением

Srav =

DSolve@

tD −

1, y10^@DD−3.,y2^@@0^D@^DD<2^@@,y@DD3D<<Dê@0D@⁼⁼D1.D<,

t t ,t ; D , y3 t_ =

Re y1 @y2 t .Srav ,

y1

−_365.348@ D @ D @ D

Проверка постоянства функции Понтрягина

PlotQHPlotRangeHH2t_210^∗D∗x1∗=x1@@x1Q@t@^D@tt ⁺D D x2→8@ D8862,864∗ x3<@1,D∗ψ<3D@Lt D2@tD^@t+DDL∗ψ1@tD+

Graphics

Пример 2.5.

Построение фундаментальной матрицы Коши

Resh1 =

DSolve x11' t 2 ∗ x11 t + 9 ∗ x21'^@8@DtD x11^@@^D@D<tD ⁺ D2 ∗ x21^@ @Dt, t ,x21 t ,t ; x12't 2 ∗ x12 t + 9 ∗ x22 t ,

@ Dt;

x22'^@8t x12^D@D<tD + 2 ^∗Dêx22^@@@^DD<t^D 8 @^@DD<<@^DDê <,

tx21 t ,

t .Resh2,x21 t .Resh1,

X =.t → 1 − τ

::

подынтегральногоD−1+τNêH−1+ 6H1−τLL>,: и61 внеинтегрального−1+τH−1+ 6H1−τLL, 12 −1выражений+τH1+ 6H1−τLL>> функции

ипсилон

XT = Transpose X ;L ₌ ^l1 ;

= − 4 ∗ @ D+ 9 ∗ l2^2Jl2N+ 50 ∗ l1 + 30 ∗ l2

;

τ

=

Построениедвух ветвей функции ипсилон

Eps1 l1_; Eps2^@@l1_^DD = Dob2 − NIntegrate@ @ D 8 ^<<^DD;

Решение задачи математического

u = −1;If Eps1 −1 < Eps2 −1 ,S = Eps2 −1 = u;