Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 13 из 49)

Пусть U ⁰ ( )⋅ - оптимальная программная стратегия. Обозначим через x⁰ ( )⋅ = x(⋅,t₀,x U₀, ⁰ ( )⋅ ) оптимальное движение объекта, а через ψ⁰ ( )⋅ - решение сопряженной системы дифференциальных уравнений (1.3.7), удовлетворяющее условию

.

Теорема 1 (принцип максимума Л.С. Понтрягина). Оптимальная программная стратегия U ⁰ ( )⋅ удовлетворяет следующему условию максимума:

B( )t U ⁰ (t),ψ⁰ (t) = max B t u( ) ,ψ⁰ (t) (1)

u P∈

для почти всех t ∈[t T₀, ].

Доказательство. Из выпуклости области достижимости G t( ₀,x T₀, ) в силу [7 ] следует, что для всех q∈G t( ₀,x T₀, ) имеет место неравенство

∂Φ ^{0 00 00 00}

0 ≤(x ( )T ),q − x ( )T = − ψ ( )T ,q − x ( )T = ψ ( )T ,x ( )T − ψ ( )T ,q. (2)

∂x

Тогда для всех u( )⋅ ∈Π[t T₀, ] должно выполняться

T T

ψ⁰ ( )T , X T t[ , ₀ ]x₀ + ∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( )U ⁰ ( )d + ∫ X T[ ,τ τ τ]C( )d−

t0 t0

T T

− ψ⁰ ( )T , X T t[ , ₀ ]x₀ + ∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( ) ( )u d + ∫ X T[ ,τ τ τ]C( )d=

t0 t0

TT

= ψ ( )T ,∫ X T[ ,τ τ τ τ ψ]B( )U ⁰ ( )d − ⁰ ( )T ,∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( ) ( )u d≥ 0.

t0t0

Последнее возможно, только если

TT

ψ⁰ ( )T ,∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( )U ⁰ ( )d⁼ u_{( )}⋅ ∈Πmax_[t T0, _]ψ⁰ ( )T ,∫ X T[ ,τ τ τ τ]B( ) ( )u d. (3)

t0t0

Последовательно преобразуем левую и правую части равенства (3). Имеем

T

ψ⁰ ( )T , X T[ ,τ τ τ τ]B( )U ⁰ ( ) d = u ⋅ ∈Πmaxt T0, ∫ ψ⁰ ( )T , X T[ ,τ τ τ τ]B( ) ( )u d ⇒

_{( ) [ ]}

t₀

T

ψ⁰ ( )T , X ⁻¹ [τ,T B] ( )τ τ τU ⁰ ( ) d = u ⋅ ∈Πmaxt T0, ∫ ψ⁰ ( )T , X ⁻¹ [τ,T B] ( ) ( )τ τ τud ⇒

_{( ) [ ]}

t₀

T

∫ X [τ,T]}Tрψ⁰ ( )T , B( )τ τ τU ⁰ ( ) d = u_{( )}⋅ ∈Πmax_[t T0, _]{X ⁻¹ [τ ψ,T]}Tр ⁰ ( )T , B( ) ( )τ τ τud .

t0 0

Отсюда в силу (1.5.2) выводим

T T

∫ψ⁰ ( )τ τ τ τ, B( )U ⁰ ( )d = u_{( )}⋅ ∈Πmax_[t T0, _] ∫ψ τ τ τ τ⁰ ( ), B( ) ( )ud

t0 t0

В книге [18 ] показано, что

T T max ∫ψ⁰ ( )τ τ τ τ,B( ) ( )ud = ∫maxψ τ τ τ⁰ ( ), B( )u d .

u_{( )}⋅ ∈Π_[t T0, _]u P∈ t0 t0

Тогда

T

_∫ ⎡_⎣ ψ τ τ τ⁰ ( ), B( )U ⁰ ( ) −maxu P∈ ψ τ τ τ⁰ ( ), B( )u ⎤_⎦d = 0,

t₀

что и означает выполнение условия (1). Теорема доказана.

Функция

H t x u( , , ,ψ) =A t x( ) + B t u( ) +C t( ),ψ

представляет собой функцию Л.С. Понтрягина [25] для рассматриваемого управляемого динамического объекта. Таким образом, доказанная теорема утверждает, что на оптимальном управлении функция Л.С. Понтрягина достигает максимального значения.

Заметим, что для выпуклых функций Φ неравенство (2) является доста-

точным условием минимума функции Φ на множестве G t( ₀,x T₀, ). Тогда усло-

вие (1) будет не только необходимым, но и достаточным для оптимальности программной стратегии

U ⁰ (⋅).

Пример 1. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект

x₁ ⎛u₁ ⎞ ⎧⎪⎛u₁ ⎞ x₁ = u₁, x₂ = u₂, u = ⎜ ⎟∈P = ⎨⎜ ⎟

⎝u2 ⎠ ⎩⎪⎝u2 ⎠

⎛ x₁₀ ⎞ ⎛ ⎞0

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟, t₀ = 0,T =1, Φ( )x =

⎝ x₂₀ ⎠ ⎝ ⎠0

Рис. 1

Оптимальное управление объектом, как вид-

но из рис. 1, здесь состоит в том, чтобы перевести управляемую точку из на-

⎛ x¹⁰ (1)⎞ ⎛ ⎞1

чала координат в положение M_∗ ÷⎜_⎜⎝ _x20 ( )_{1 ⎠}⎟_⎟ = ⎜ ⎟_{⎝ ⎠0} . Это можно осуществить только программной стратегией вида

U t u d t . (4)

⎝ 1 ⎠ 0

Проверим выполнение условий теоремы 1 для таких стратегий. Сопряженная система дифференциальных уравнений и граничные условия для нее здесь имеют вид

ψ₁ = 0,ψ₂ = 0,

x¹⁰ (1)

ψ₁ ( )1 = −= 0,

(x₁⁰ ( )1 )² +(x₂⁰ ( )1 −2)²

x₂⁰ ( )1 −2 ψ₂ ( )1 = −=1.

(x₁⁰ ( )1 )² +(x₂⁰ ( )1 −2)²

Интегрируя, находим, что

.

Выпишем функцию Л.С. Понтрягина, вычисленную вдоль оптимальной пары

(x⁰ ( )⋅ ,ψ⁰ ( )⋅ ). Имеем

H t x

t u t t u t u u t .

Отсюда следует, что

maxu P∈ H t x( , ⁰ ( )t , ,uψ⁰ (t)) = u1max≤1,u2 ≤1(ψ₁⁰ (t u) ₁ +ψ₁⁰ (t u) ₂ ) = maxu2 ≤1 u₂ =1, t∈[0,1]. (5)

Очевидно, что программное управление (4) доставляет максимум в (5) и, следовательно, удовлетворяет условию (1).

Практическое применение теоремы 1 для поиска решения задачи управления осуществляется следующим образом.

Для каждого фиксированной пары (t,ψ)∈[t T₀, ]×Rⁿ решается задача математического программирования

B^Tр (t)ψ, u → max, u∈P . (6)