Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 4 из 49)

∂ϕ₁ ∂ϕ₂

Обобщенной силой Q_i , отвечающей обобщенной координате ϕ_i , является управляющий вращательный момент v_i, i =1,2.

Используя формулы (14), выпишем уравнения Лагранжа

d ∂T ∂T

− = Q_i , i =1,2.

dt ∂ϕ_i ∂ϕ_i

В результате получим

^aϕ1 +^cϕ2 ^cos(ϕ ϕ1 − 2)+^cϕ 2^{[1] sin}(ϕ ϕ1 − 2)= v₁ , ^cϕ1 ^cos(ϕ ϕ1 − 2)+^bϕ2 −^cϕ1^{2 sin}(ϕ ϕ1 − 2)= v₂ . (15)

Разрешим дифференциальные уравнения (15) относительно старших производных

2 2 ^⎡⎣ ^⎤⎦ ,

¹

2 ab−c cos (ϕ ϕ1 − 2 )

2 2 ^⎡⎣ ^⎤⎦ .

²

2 ab−c cos (ϕ ϕ1 − 2 )

Полученную систему двух дифференциальных уравнений второго порядка от-

носительно переменных ϕ₁,ϕ₂ заменой переменных

y₁ =ϕ1, y₂ =ϕ2, y₃ =ϕ1, y₄ =ϕ 2

сведем к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка

^y1 = y₃ , ^y2 = y₄ ,

1 2bv −2bcy sin y − y −2cv cos y − y −c y sin 2

_y3 = ⋅ _{1 4}² ( _{1 2} ) 2 2 2 ( _{1 2}) ² ₃^{2 ⎡}_⎣ (y₁ − y₂ )^⎤⎦ _,

2 ab−c cos (y1 − y2 )

y4 = 1 ⋅ 2av2 +2acy32 sin(y1 − y2 )−2cv2 1 cos2 (y1 − y2 )+c y2 42 sin 2⎡⎣ (y1 − y2 )⎤⎦ (16)

⎛ ⎞⎜⎜⎜⁰⎟⎟

⎜

v∗( )t ≡ ⎛ ⎞⎜_{⎝ ⎠⎜}⎜₀⁰⎟⎟⎟⎟, y∗( )t = ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ ⎠⎜₀0⁰⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

⎜

По формулам (10) находим

⎛_⎜⎜⎜^⎜0 0 1 0⎞⎟

^A= ^⎜⎜⎜⎜⎜⎜0₀⁰ ₀0_{0 0}0₀ ¹0₀⎠⎟⎟^⎟⎟⎟⎟⎟_⎟⎟⎟⎟ , B = _⎜⎜^⎜⎜⎛⎜⎜^⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜ab cab c₋0₀₋₋^bc 22 ab cab c⁻0₀₋₋a^c 22 ⎞⎠⎟⎟^⎟⎟⎟⎟^⎟⎟⎟^⎟⎟^⎟⎟⎟.

⎜⎝⎜

Таким образом, линеаризованные уравнения здесь имеют вид

⎜⎜⎛ x ⎞

⎜⎜⎜⎜⎜xx ⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎝x1423⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛0000 0000 1000 1000⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xxxx1423⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟+⎜⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛ab cab c−00−−bc 22 ab cab c−00−−ac 22 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎝⎜⎜⎛⎜uu12 ⎞⎟⎟⎟⎟⎠.

1.2. Системы однородных линейных дифференциальных уравнений

Системе дифференциальных уравнений (1.1) поставим в соответствие однородную систему уравнений

x1 = a₁₁(t x) 1 + +" a_1n (t x) n,

.............................................. xn = a_n1(t x) 1 + +" a_nn (t x) n.

или ее векторно-матричный аналог

x = A t x( ) . (1)

Установим некоторые простейшие свойства дифференциального уравнения (1).

Свойство 1. Пусть x(⋅) - решение дифференциального уравнения (1) и x t( 0)= 0 для некоторого значения t₀ ∈ R¹. Тогда x( )t ≡ 0, t ∈ R¹ .

Доказательство. Справедливость свойства следует непосредственно из теоремы существования и единственности решения дифференциальных уравнений.

Свойство 2. Пусть _x⁽¹⁾(⋅),",_x^(s)(⋅) - система решений уравнения (1). Тогда для всех α1,",αs ∈ R¹ выражение

xˆ()⋅ =∑s αix( )i ()⋅

i=1

будет также решением дифференциального уравнения (1).

Доказательство. Действительно,

dx tˆ( ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

.

dt dt ⎝ i₌1 ⎠ i₌1 _i=1 ⎝ i₌1 ⎠

Определение 1. Система решений _x⁽¹⁾(⋅),",_x^(s)(⋅) уравнения (1) называется линейно зависимой, если существуют такие константы α1,",αs ∈ R¹ , не обращающиеся одновременно в нуль, что

∑^s αi _x^{( )i} ( )t ≡ 0, t ∈ R¹ .

i=1

В противном случае система решений _x⁽¹⁾(⋅),",_x^(s)(⋅) называется линейно независимой.

Заметим, что для зависимой системы решений _x⁽¹⁾(⋅),",_x^(s)(⋅) набор векторов _x⁽¹⁾(t),",_x^(s)(t) является линейно зависимым при всех t ∈ R¹ . Это утверждение может быть обращено следующим образом.

Лемма 1. Пусть для некоторого значения t₀ ∈ R¹ набор векторов

_x⁽¹⁾(t₀),",_x^(s)(t₀) линейно зависим. Тогда система решений _x⁽¹⁾(⋅),",_x^(s)(⋅) уравнения (1) является линейно зависимой.

Доказательство. Из линейной зависимости векторов _x⁽¹⁾(t₀),",_x^(s)(t₀) следует существование ненулевого набора констант α1,",αs ∈ R¹ , для которого

∑^s αi x^{( )i} ( )t₀ = 0 . (2)

i=1

Полагаем

xˆ()⋅ =∑s αix( )i ()⋅ .

i=1

По свойству 2 функция xˆ()⋅ является решением уравнения (1), при этом в силу

(2) справедливо равенство x tˆ( 0)= 0. Тогда по свойству 1 должно выполняться

s

xˆ( )t =∑αi x^{( )i} ( )t ≡ 0, t ∈ R¹ ,

i=1

что и означает искомую линейную зависимость системы решений

_x⁽¹⁾(⋅),",_x^(s)(⋅). Лемма доказана.

Следствие. Пусть система решений _x⁽¹⁾(⋅),",_x^(s)(⋅) линейно независима.

Тогда набор векторов _x⁽¹⁾( )t ,",_x^(s)( )t является линейно независимым при всех t ∈ R¹ .

Доказательство. От противного приходим к существованию некоторого значения t

R , для которого набор векторов _x⁽¹⁾( )t ,",_x^(s)( )t является линейно зависимым. Тогда по лемме 1 система решений _x⁽¹⁾(⋅),",_x^(s)(⋅) должна быть зависимой, что противоречит исходным предположениям.

Установим критерий линейной зависимости и независимости системы

решений _x⁽¹⁾(⋅),",_x^(s)(⋅) уравнения (1).

Теорема 1. Система решений _x⁽¹⁾(⋅),",_x^(s)(⋅) уравнения (1) является линейно зависимой или линейно независимой, тогда и только тогда когда соответственно линейно зависим или линейно независим набор векторов _x⁽¹⁾(t₀),",_x^(s)(t₀) хотя бы при одном значении t₀ ∈ R¹.