Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 46 из 49)

s_,l1_,l2_

s_,l1_,l2_

Решение задачи математического программирования

l1 = −1;l2 = 0;

S = −1 − 5 ∗ l1 + 4 ∗ 1 − l1^2 − K −

NIntegrate sè, s,0,1 ;j = 0;l10 = = l2;

Do

WA<D;<E

If >; Print@ @ D

206 −0.794 −0.607918 S=3.97259

Анализ оптимального управления

Plot@8U1@t,l10,l20D,U2@t,l10,l20D<,8t,0,1<D

2

1.5

0.5

Graphics

Построение оптимального начального положения

8 закона <

Osny4 t ,

t,l10,l20 ,

y4'@tDD A91@ D∗@y3D@t@DD+ Sin@ D@tD@∗ y4D@@DtD@+ U2@@@t,l10,l20DD D= D,

y1 x10,y2 0 x20,y3 0 x30,y4 0 x40 , 88Plot8 @@@8@@Dêy1DD<@tD8,y2@ D@@tD<

@ 8D @@D<D<<D@ 88Dê@ D<<<E @ Dê < y1t ; y18 t_ , =

y1 t .Osn,y2t .Osn,y4 t .Osn ;

Graphics

Вычисление оптимального расстояния до терминального множества

y1 1 −5 ^2+ y2 1 −4 ^2 −1

3.97259 @ D L H @ D L

Пример 3.1.

Построение фундаментальной матрицы Коши

Resh1 =

DSolve t x21 t ,x21' t −x11 t ,x11 0 == 1, x21 D < 8 @ D,x21D @tD<@,tDD; @ D @ D

Resh2 =@

DSolve x12' t x22 t ,x22' t −x12 t ,x12 0 0, x22@0@8D<D @ D @,x22D @tD<@,tDD; @ D @ D

x11 t .Resh1,x21 t .Resh1 ;

888 @ D<< 8x12@@tDêDê.Resh2,x22@@tDêDê.Resh2<<;

.t → t − s;

J X @@ DD @@ DDNê

J@CosSin@@ssВвод−−DttDD − CosSinоптимального@ −−tD N DD управления

Интегрирование уравнений движения для оптимального управления

Fin = DSolve x1' t x2 t + u10 t ,x2' t −x1 t + u20 t , 8 x1@^{@ @}0D<^D<D == 1@8,x@^@ Dê^Dê2@@0DD 1<,^@8x1^D @tD,x2@ ^D@tD<,t^@DD; @ D @ D

x1 t_ = x1 t .Fin;

x2 t_ = x2 t .Fin;

Оптимальная траектория

ParametricPlotA8x1@tD,x2@tD<,9t,0,è2=E

Graphics

Пример 3.2. Ввод начальных условий

x01 J, 1N

^{88 < 8}Построение^<< фундаментальной матрицы Коши

Resh1 =

NDSolve x11' t Cos t ∗ x11 t + t ∗ x21 t , x21'@ ^A9t^D = t 8 ∗ x21@t^D<E,x11@ ^D @0D 1,

x21 0@D 0 ,;

Resh2 =

NDSolve x12'+ ∗ t ,

x22'@@A9_DtD _t@+ ₁D ∗ x12@tD+ Sin@tD∗ x22_@t<@E,x12@^@@DD^DDêDê@0D 0,^<<

x22 0 ₁,;

x11x11 t t .Resh1 ; t .Resh2 ;

Inverse X s ;

JD _@@@_DDD @@@DDDN @ D

@Построение функции ипсилон

l= ^ll2¹ ;Vne=PartTranspose MKT,0.x0 .l,1,1;Vsp=Transpose MKT,s .l;

PodJT_,s_,l1_,l2_N @ = Part Vsp,1,1@H @ D^2+LDPart Vsp,2,1D ^2 ^

12; @ @ DD Eps^@@T_,l1_,l2_D=Vne^D H⁻3∗NIntegrate^{@ D}@Pod@T,s,l1,l2^@ D,8Ds,0,T^L <D

2.27631l1+ 2.08901l2− 3NIntegrate Pod T,s,l1,l2 , s,0,T Ввод оптимального времени^{@ @} перехода^{D8 <D}

T=0.662;

Определение опорного вектора

A=FindMinimum −EpsT,l1,l2 +100∗ l1^2+l2^2−1 ^2, l1,0.1,0.2, l2,0.1,0.2 ; l10,l208 <=⁸l1<^@ê.Part^@ @A,2,1^DD,l2ê.Part^H @A,2,2D<;L 8 < 8 <D

l0⁼ l10,l20

0.617752,0.786373

8EpsT,l10,l20 <

−0.0000122584@ D

Построение оптимального управления

Upr=t_Transpose3_∗ @PartMK@@T,tUpr,1DD.l0;u10Part^2⁺@Upr,2Part@t_@DUpr,2^D=−3^∗DPartLUpr,1^Par^2^t+@Part^Upr,@¹Upr,2^D D^2L^²¹ ; u20@ ^D₌₋ H D H_{^2 ^}; D

Интегрирование уравнений движения для оптимального управления

Fin = NDSolve x1' t Cos t ∗ x1 t + t ∗ x2 t + u10 t ,

8 x2'^@@ ^@D<D< A9@@1DêDê @ D @ ^D @ ^D <E+ u20^@@t^DD,x1@@0DD 1,

x2 0 t,0,T ;

^{x1 t_} 8

x2 t_ = t

Оптимальная траектория

ParametricPlot@8x1@tD,x2@tD<,8t,0,T<D

Graphics

Проверка попадания в начало координат

8x1−0.0000134271@TD,x2@TD< , −0.0000148833

8 <

Пример 4.3

Ввод начального и конечного положений фазового вектора

X0

XT 80.7746, −147.179, −8.94415

80.7746,

< матрицы Коши