Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 27 из 49)

x₁⁰ = 0.103, x₂⁰ = 0.197, x₃⁰ = 0.057, x₄⁰ = 0.121. (11)

Оптимальная программная стратегия задается формулой

U 0 ( )t = ⎛⎜−sign x⎡⎣ 13 (1,τ)l10 + x23 (1,τ)l20 ⎤⎦⎟⎞, t ∈[0,1]. (12)

⎜⎝−sign x⎡_⎣ 14 (1,τ)l₁⁰ + x₂₄ (1,τ)l₂⁰ ⎤_⎦⎟_⎠

Из графиков компонент вектора оптимального управления, представленных на

рис. 17,

U₁ U2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис. 17.

видно, что оптимальное управление постоянно на всем промежутке времени [0,1]. Оптимальный закон движения объекта определяется путем интегрирования основной системы дифференциальных уравнений с начальными условиями (11), в которую подставлено оптимальное программное управление (12). Ниже приводятся графики изменения первых двух координат фазового вектора от времени.

Рис. 18

Финальное значение проекции фазового вектора на первые две координаты и расстояние от нее до терминального множества задаются равенствами

₀ ⎛ x₁⁰ ( )1 ⎞ ⎛1.053⎞ _{0 0 0}

{x ( )1 }2 = ⎜⎜ _x20 ( )_{1 ⎠}⎟⎟ = ⎜_⎝0.975⎟_⎠ , ^ρ(x (1),M ) = 3.973 =^ε( )l =ε .

_⎝

Последнее равенство означает оптимальность найденного программного управления.

Полученный результат лучше, чем в примере 8 (4.282 ) и лучше, чем в примере 11 (4.287 ). Это объясняется тем, что в первом случае точка x₀ из примера 8 принадлежит множеству S₀ данного примера, а во втором случае тем, что множество P из примера 11 вложено в множество P данного примера.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Найти ошибку в рассуждениях.

Рассмотрим управляемый динамический объект

⎛u₁ ⎞ ⎧⎪⎛u

x₁ = u₁, x₂ = u₂, u = ⎜ ⎟∈P = ⎨⎜

⎝^u₂ ⎠ ⎪⎩⎝

⎛ x₁₀ ⎞ ⎛ ⎞0

_{⎜ ⎟} = _{⎜ ⎟}, t₀ = 0,T =1, Φ( )x = (x −0.25) +(x − 2) .

⎝ x₂₀ ⎠ ⎝ ⎠0

Критерий качества Φ здесь имеет смысл расстояния от финального положения фазового вектора до точки M , положение которой задается вектором

⎛0.25⎞

r_M = ⎜ ⎟. Тогда оптимальное управление (одно из возможных) имеет вид

⎝ 2 ⎠

₀ ⎛0.25⎞

u ( )t = ⎜ _⎟, t ∈[0,1].

⎝ 1 ⎠

Покажем, что управление u⁰ (⋅) не удовлетворяет условиям принципа максимума Л.С. Понтрягина. Действительно, выпишем функцию Л.С. Понтрягина

H t x u( , , ,ψ ψ ψ) = _{1 1}u + ₂u₂ .

Максимум этой функции достигается, когда

uˆ₁ = sign(ψ₁ ), uˆ₂ = sign(ψ₂ ).

Сопряженная система здесь записывается так:

ψ₁ = 0,ψ₂ = 0 ⇒ψ₁⁰ (t) = c₁,ψ₂⁰ (t) = c₂ .

Управления, подозрительные на оптимальность, удовлетворяют условию

uˆ₁ = sign c( ₁ ) = const u, ˆ₂ = sign c( ₂ ) = const.

После подстановки управлений u uˆ₁, ˆ₂ в основную систему дифференциальных уравнений получим

x₁ = sign c( ₁ ), x₂ = sign c( ₂ ).

Интегрируя основную систему, с учетом начальных условий находим

x₁⁰ ( )t = sign c t( )₁ , x₂⁰ ( )t = sign c( ₂ )t ⇒ x₁⁰ (1) = sign c( ₁ ), x₂⁰ ( )1 = sign c( )₂ .

Выпишем условия трансверсальности в конечный момент времени

− ⇒

⎛

⎜

⎝⎛⎜⎜ψψ1200 ( )( )11 ⎠⎞ ⎜⎜

⎟⎟ = −⎜

⎜

⎜⎜

⎝

x₁⁰ (1)−0.25 ⎞

⎟

(x₁⁰ ( )1 −0.1)² +(x₂⁰ ( )1 −2)² ⎟

⎟ ⇒ x₂⁰ ( )1 −2 ⎟

⎟ (x₁⁰ ( )1 −0.1)² +(x₂⁰ ( )1 −2)² ⎟⎟_⎠

⎧ sign c( ₁ )−0.25

⎪c₁ = − 2 ₂ ,

⎪_⎪ (sign c( )₁ −^0.1) +(sign c( )₂ −²)

⎨

⎪_c2 _{= −} sign c( )₂ −2 _.

⎪ 2 2

_⎪⎩ (sign c( )₁ −0.1) +(sign c( )₂ −2)

Пусть c₁⁰,c₂⁰ - решение этой системы. Очевидно, что c c . Тогда оптимальное управление должно привести управляемую точку в вершины квадрата. Управление u⁰ (⋅) этому условию не удовлетворяет.

2. Для линейных управляемых динамических систем, описанных в упражнениях раздела 1 (дифференциальные уравнения движения, начальные условия, отрезок времени управления), решить задачу оптимального управления со следующими функционалами:

Рассмотреть два случая геометрических ограничений на вектор управляющих параметров

⎧⎛u₁ ⎞

⎪⎜ ⎟

1) P = ⎨⎜u2 ⎟

⎪⎩⎜⎝u3 ⎟⎠

⎫ ⎧⎛u₁ ⎞ ^{2 2 2} ⎪ ⎪^{⎜ ⎟} u₁ +u₂ +u₃ ≤1⎬, 2) P = ⎨_⎜u_{2 ⎟}

⎪⎭ ⎪⎩⎜⎝u3 ⎟⎠

⎫

⎪

u ≤1, i =1,2,3⎬.

⎪ ⎭

Убедиться, что результат управления во втором случае будет «лучше», чем в первом случае. Задачу оптимального управления следует решить двумя способами. Первый способ состоит в использовании необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Л.С. Понтрягина, второй способ – в форме прицеливания на опорный вектор к множеству области достижимости.

Проверить выполнение достаточных условий оптимальности.

3. Решить приведенные выше задачи оптимального управления в предположении, что начальное положение фазового вектора не фиксировано. Считать, что

3. ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

3.1. Постановка задачи линейного предельного быстродействия и существование ее решения. Линейную задачу теории оптимального управления назовем задачей линейного быстродействия, если:

1) минимизируемый функционал имеет форму Лагранжа с подынтеграль-

ной функцией f ₀ ≡1;

2) начальный момент времени фиксирован θ₀ ={t₀ };

3) конечный момент времени не фиксирован θ₁ ∈{T

T > t₀};

4) левый и правый конец траектории закреплены S₀ ={x₀}, S₁ ={0}, x₀ ≠ 0 ,

5) область изменения управляющих параметров P ⊂ R^r выпукла.

Теорема 1 (Существование решения задачи линейного быстродействия.) Пусть для некоторого момента времени T ^∗ > t₀ выполнено включение

0∈G t( 0,x T₀, ^∗ ),

где G t x T( ₀, ₀, ),T > t₀ - область достижимости управляемого объекта. Тогда задача линейного быстродействия имеет решение.

Доказательство. По предположению теоремы

Τ ={T > t₀

0∈G t( ₀,x T₀, )} ≠ ∅ .

Обозначим T ⁰ = inf T . Достаточно показать, что

T∈Τ

0∈G t( 0,x T₀, ⁰ ). (1)

Рассмотрим последовательность

{T_k} →T ⁰, T_k ∈Τ, k =1,2,

Включение (1) следует из замкнутости области достижимости, непрерывной зависимости ее от T и включений

0∈G t x T( ₀, ₀, _k ), k =1,2,

Теорема доказана.

Момент времени T ⁰ будем называть оптимальным временем перехода.

3.2. Необходимые условия оптимальности программной стратегии.

Пусть выполнены условия теоремы 1. Полагаем

ε[ ]T = maxl=1 ^⎡_⎢⎣q G t∈ min₍ 0 0,x T, ₎ q l, _⎥⎦^⎤ = maxl =1 F l T( , ), T ≥ t₀ , (1)