Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 24 из 49)

_{⎥⎦ ) ⎣⎦}

Последовательно вычисляем

⎛ cos(t −τ) sin(t −τ)⎞

X [t,τ] = ⎜ ⎟,

X [π,0]x₀, l = −l x_{1 10} −l x_{2 20} ,

_⎝−sin(t −τ) cos(t −τ⁾_⎠

min X [πτ, ]u l, 1.

u P∈

В результате неравенство (12) принимает вид

lmax minl ⎢⎣⎡ x ∈S (−l x1 10 −l x2 20 )⎥⎦⎤ >π. (13)

Минимум линейной формы, стоящей в левой части неравенства (13), может достигаться лишь в тех начальных позициях, которые лежат на дуге эллипса.

Тогда левая часть неравенства (13) вычисляется по формуле

= 3.527 >π,

и неравенство (13) имеет место. Таким образом, случай 1 не дает решения задачи оптимального управления.

Случай 2). Граничные условия принимают вид

4x¹⁰ 4

c₁ =µ₁, c₂ =µ₁ , , x₁₀ − x₂₀ +5 ≤ 0, (14)

5 25− x102

⎛ πc1 ⎞ ⎛ πc2 ⎞

c₃ = x₁₀, c₄ = x₂₀ , µ₁ > 0 , −c₁ = 6⎜+ c₃ ⎟, −c₂ = 4⎜+c₄ ⎟. (15) ⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠ ⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠

Эти условия противоречивы, так как в силу второго равенства в (14) выполняется c₂ > 0. Тогда из второго и четвертого равенств в (15) следует, что x₂₀ < 0 и x₀ ∉S₀ .

Случай 3). Граничные условия принимают вид

c₁ =µ₂ , c₂ = −µ₂ ,

, x₁₀ − x₂₀ +5 = 0 , (16)

⎛ πc1 ⎞ ⎛ πc2 ⎞

c₃ = x₁₀, c₄ = x₂₀ , µ₂ > 0 , −c₁ = 6⎜+ c₃ ⎟, −c₂ = 4⎜+c₄ ⎟. (17)

⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠ ⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠

Решением системы (16), (17) будут числа c₁ =1.337, c₂ = −1.337, c₃ = −2.444, c₄ = 2.556,µ₂ =1.337 > 0, x₁₀ = −2.444, x₂₀ = 2.556.

Подставляя их в (7), определяем оптимальную программную стратегию и оптимальную траекторию объекта. Ниже на рис. 15 приводится вид этой траектории. x2

Рис. 15

Оптимальное значение функционала равно

I U⎡_⎣

⎤_⎦ x x .

В примере 4 значение функционала на оптимальном управлении было

«хуже» и равнялось величине 0.562 . Такой результат является ожидаемым,

⎛−3⎞ так как начальная точка x₀ = ⎜ ⎟ из примера 4 принадлежит множеству S₀ ⎝ 2 ⎠

данного примера.

Случай 4). Граничные условия принимают вид

4x¹⁰ 4

c₁ =µ₁+µ₂ , c, x₁₀ − x₂₀ +5 = 0 ,

5 25− x102

⎛ πc1 ⎞ ⎛ πc2 ⎞

c₃ = x₁₀, c₄ = x₂₀ , µ₁ > 0, µ₂ > 0 , −c₁ = 6⎜+ c₃ ⎟, −c₂ = 4⎜+c₄ ⎟.

⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠ ⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠

Эта система имеет два решения.

Первое решение

c₁ =11.150, c₂ = 0, c₃ = −5, c₄ = 0, µ₁ = −8.79 10⋅ ⁻⁷ , µ₂ = −8.79 10⋅ ⁻⁷ ,

x₁₀ = −5, x₂₀ = 0 .

Второе решение

c₁ =1.093, c₂ = −3.589, c₃ = −1.098, c₄ = 3.902,µ₁ = −3.043< 0,µ₂ = 0.545,

x₁₀ = −1.098, x₂₀ = 3.902 .

Оба решения не удовлетворяют предположениям четвертого случая.

Таким образом, задача оптимального управления имеет единственное решение, которое было получено в третьем случае.

Пример 10*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект

x₁ = 2x₁ + 2x₂ −30x₃ +u₁, x₂ =10x₁ − x₂ −35x₃ +u₂, x₃ = 2x₁ − x₂ + x₃ +u₃,

⎧ ⎛u₁ ⎞ ⎫

⎪ ⎜ ⎟ ³⎪

u∈P = ⎨u = _⎜u_{2 ⎟}∈R u_i ≤1, i =1,2,3_⎬, t ∈[0,1]

⎪ ⎜⎝u3 ⎟⎠ ⎪⎭

⎩

⎧⎛ x₁ ⎞⎫

⎪⎜ ⎟ 3x2 x3 ⎪

x0 ∈S0 = ⎨⎪⎜⎜ x2 ⎟∈R+ 6 + 3 ≤1, x1 ≤ 0, − x2 ≤ 0, − x3 ≤ 0⎪⎬;

⎩⎝ x3 ⎟⎠⎭

I U⎡_⎣ ( )⋅ ⎤_⎦ = x₁ (1)+ 2x₂ (1)− x₃ (1) → min .

Условия рассматриваемого примера совпадают с условиями примера 3 за исключением граничных условий на левом конце траектории. В данном примере множество S₀ содержит более одной точки. Множество S₀ показано на

рис. 16.

Рис. 16

Повторяя выкладки из примера 3, приходим к тому, что

⎛Uˆ1 (t,ψ)⎞ ⎧⎪ sign[ψi ], ψi < 0

ˆ ( ,ψ) = ⎜⎜^Uˆ₂ (t,ψ)⎟⎟,^Uˆ_i (t,ψ) = ⎪⎨любоечисло ψ_i = 0,

^{U t}

⎜⎜⎝Uˆ3 (t,ψ)⎟⎟⎠ ⎩⎪⎪из−[0sign,1],[ψ ψi ], i > 0.

Объединенная система дифференциальных уравнений принимает вид

x₁ = 2x₁ + 2x₂ −30x₃ +^Uˆ₁ (t,ψ), x₂ =10x₁ − x₂ −35x₃ +^Uˆ₂ (t,ψ), x₃ = 2x₁ − x₂ + x₃ +^Uˆ₃ (t,ψ),

ψ₁ = −2ψ ψ ψ₁ −10 ₂ −2 ₃, ψ₂ = −2ψ ψ ψ₁ + ₂ + ₃, ψ₃ = 30ψ ψ ψ₁ +35 ₂ − ₃.

В данном примере сопряженная система дифференциальных уравнений интегрируется независимо от основной системы. В результате с учетом граничных условий

ψ₁ (1) = −1,ψ₂ (1) = −2,ψ₃ (1) =1

получим вектор-функцию ψ⁰ (t), t ∈[0,1]. Эта функция тождественна той, что была построена в примере 3.

Тогда оптимальная программная стратегия имеет вид

⎧ 1, t ∈⎡_⎣0, tˆ),

⎪

⎪произвольноечисло

U

t = ⎨ t = tˆ, , U t U t t ,

_⎪из[−1,1 ,]

^⎪⎩ −1, t ∈(tˆ,1 .⎤_⎦

где tˆ = 0.741061.

Подставим ее в исходную систему дифференциальных уравнений

x₁ = 2x₁ + 2x₂ −30x₃ +U₁⁰ (t),

x₂ =10x₁ − x₂ −35x₃ +U₂⁰ ( )t , (18)

x₃ = 2x₁ − x₂ + x₃ +U₃⁰ ( )t ,

В соответствии с теоремой 6 выпишем граничные условия на левом конце траектории. С учетом равенств

x¹ x³ x² ϕ₁ (x x x₁, ₂, ₃ ) =

+ + −1,, (−9) 6 3

ϕ₂ (x₁,x x₂, ₃ ) = x₁, ϕ₃ (x x x₁, ₂, ₃ ) = −x₂, ϕ₄ (x x x₁, ₂, ₃ ) = −x₃ ,