Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 17 из 49)

⎛u₁ ⎞ ⎧ ⎛u₁ ⎞ ⎫

⎜ ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ ^3⎪

u = ⎜u2 ⎟, u∈P = ⎨u = _⎜u_{2 ⎟}∈R u_i ≤1, i =1,2,3 ,⎬ x₁ ( )0 = −3, x₂ ( )0 = 2, x₃ ( )0 =1;

⎜u3 ⎟⎠ ⎝ Здесь	⎪ ⎩	⎜u3 ⎟⎠ ⎪⎭ ⎝ I U⎡⎣ ( )⋅ ⎤⎦ = x1 (1)+ 2x2 (1)− x3 (1) → min .
⎛ 2 ⎜ A = ⎜10 ⎜ 2 ⎝	2 −1 −1	−30⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ −35⎟, B = ⎜0 1 0⎟, Φ( )x = x1 ( )1 + 2x2 ( )1 − x3 ( )1 . 1 ⎟⎠ ⎜⎝0 0 1⎟⎠

Сформулируем задачу математического программирования (1.7)

ψ_{1 1}u +ψ ψ₂u₂ + ₃u₃ → min, u_i ≤1, i =1,2,3

и решим ее. Функция (1.8) здесь имеет вид

ˆ ( ,ψ) = ⎜⎛⎜^U_Uˆˆ1₂ ((_tt_,,_ψψ))⎟^⎞⎟,^Uˆ_i (t,ψ) = _⎪⎪⎨⎧любоечислоsign[ψ_i ], ψψ_ii =<00,

^{U t}

⎜U

⎜⎝ ˆ3 (t,ψ)⎟⎟⎠ ⎩⎪⎪из−[0sign,1],[ψ ψi ], i > 0.

Система дифференциальных уравнений (1.10) и граничные условия (1.11) записываются так:

x₁ = 2x₁ + 2x₂ −30x₃ +U^ˆ₁ (t,ψ), x₂ =10x₁ − x₂ −35x₃ +U^ˆ₂ (t,ψ), x₃ = 2x₁ − x₂ + x₃ +U^ˆ₃ (t,ψ),

ψ₁ = −2ψ ψ ψ₁ −10 ₂ −2 ₃, ψ₂ = −2ψ ψ ψ₁ + ₂ + ₃, ψ₃ = 30ψ ψ ψ₁ +35 ₂ − ₃,

x₁ ( )0 = −3, x₂ ( )0 = 2, x₃ (0) =1, ψ₁ (1) = −1,ψ₂ (1) = −2,ψ₃ ( )1 =1.

В данном примере сопряженная система дифференциальных уравнений интегрируется независимо от основной системы. В результате с учетом граничных условий получим вектор-функцию ψ⁰ (t), t ∈[0,1]

Ниже на рис. 5 приводятся графики зависимости компонент этой вектор-функции от времени

ψ1 ψ₂

Рис. 5

Из приведенных графиков видно, что вектор ψ⁰ (t), t ∈[0,1] не является тождественным нулем. Тогда функция (8) определяется однозначно и представляет собой оптимальное программное управление. Компоненты

вектора ψ⁰ (t) знакопостоянны, поэтому для построения

оптимальной программной стратегии достаточно определить момент времени tˆ∈[0,1], в который происходит переключение первой компоненты вектора ψ⁰ ( )t . В результате решения уравнения ψ₁⁰ (t) = 0 приходим к равенству

tˆ = 0.741061.

Таким образом, оптимальное программное управление имеет вид

⎧ 1, t ∈⎡⎣0, tˆ),

⎪

⎪произвольноечисло

u

t = ⎨ t = tˆ, , u t u t

_⎪из[−1,1 ,]

^⎪⎩ −1, t ∈(tˆ,1 .⎤⎦

Подставим оптимальное управление в основную систему дифференциальных уравнений и проинтегрируем ее с соответствующими начальными условиями. В результате получим оптимальное движение x⁰ ( )t , t∈[0,1].

Вычислим значение функционала на оптимальном программном управле-

нии

I u⎡_⎣ ⁰ ( )⋅ ⎤_⎦ = x₁⁰ (1)+ 2x₂⁰ (1)− x₃⁰ (1) = −366.188

Для сравнения вычислим значение функционала на допустимом про-

⎛ 1 ⎞

граммном управлении u t( ) = −^⎜_⎜ 1^⎟_⎟, t∈[0,1]. Пусть x(⋅) = x(⋅,t x u₀, ₀, ( )⋅ ). Тогда ⎜⎝ 1 ⎟⎠

I u⎡_⎣ ( )⋅ ⎤_⎦ = x₁ (1)+ 2x₂ (1)− x₃ (1) = −365.348.

Таким образом,

I u⎡⎣ ( )⋅ ⎤⎦ = −365.348 > −366.188 = I u⎡⎣ ⁰ (⋅)⎤⎦ .

Наконец, в соответствии с теоремой 3 проверим постоянство функции Понтрягина, вычисленной вдоль оптимальной пары (x⁰ (t),ψ⁰ ( )t ) на промежутке времени [0,1]. Действительно, ниже на рис. 6 приводится график функции

H t x( , ⁰ ( )t ,u⁰ ( )t ,ψ⁰ (t)) =ψ₁⁰ (t)(2x₁⁰ (t)+ 2x₂⁰ (t)−30x₃⁰ ( )t +u₁⁰ ( )t )+

+ψ₂⁰ ( )t (10x₁⁰ (t)− x₂⁰ ( )t −35x₃⁰ (t)+u₂⁰ (t))+ψ₃⁰ (t)(2x₁⁰ (t)− x₂⁰ (t)+ x₃⁰ ( )t +u₁⁰ ( )t ),

Рис. 6

который подтверждает факт постоянства функции Л.С. Понтрягина.

2.4. Минимизация расстояния до целевого множества. Рассмотрим частный случай задачи 1, исследованной в предыдущем пункте. Именно, будем предполагать, что функция Φ , определяющая критерий качества, имеет смысл евклидового расстояния от проекции фазового вектора на часть своих (k первых, k ≤ n) координат до некоторого выпуклого компактного множества M ⊂ R^k .

Таким образом,

Φ( )x = ^ρ({ }x _k ,M ) = minm M∈ ^ρ({ }x _k ,m) = minm M∈ m−{ }x _k ,m−{ }x _k , k ≤ n M, ⊂ R^k . Здесь символ {⋅}_k означает проекцию вектора из пространства Rⁿ на свои первые k ≤ n координат.

В дальнейшем множество M ⊂ R^k будем называть целевым.

Проекцию области достижимости G t x T( ₀, ₀, ) ⊂ Rⁿ на подпространство R^k обозначим символом {G t( ₀,x T₀, )}_k . Предположим, что выполняется условие

{G t( ₀,x T₀, )}_k ∩ M = ∅. Полагаем

ε⁰ = min{ε> 0

{G t( ₀,x₀ )}k ∩ M^ε ≠ ∅},

где символом M^ε обозначена замкнутая ε−окрестность целевого множества. Из компактности множества {G t( ₀,x T₀, )}_k следует существование минимума в правой части последнего равенства и справедливость соотношения

ε⁰ = I U_⎣⎡ ⁰ (⋅⁾_⎦⎤ > 0.

Вычислим величину ε⁰ . По теореме 1.30 [22] условие {G t( ₀,x T₀, )}_k ∩ M^ε ≠ ∅ будет иметь место тогда и только тогда, когда

G tmin0 0,x T, l q, ≤χ(M ^ε, ),l ∀ l ∈ S(0, 1)⁼{s ∈ R^k s =1}.

q^∈{ ( )}k

Здесь χ(M^ε,⋅) - опорная функция множества M^ε. Тогда

ε⁰ = min⎨⎧ε> 0min l q, ≤ χ(M^ε, )l ∀ ∈l S (0, 1) ^⎫_⎬ . (1)

⎩q^∈{G t( _{0 0},x T, )^}k ⎭

В силу равенства

χ(M ^ε, )l = max m l, = +ε maxm M m l, m M∈ α∈

из (1) выводим, что

0 ⎡⎤

ε = l Smax∈ (0,1) ⎢⎣−maxm M∈m l,+ q∈{G tmin( 0 0,x T, )}k q l, ⎦⎥ . (2) Пусть максимум в (2) достигается на векторе l⁰ ∈S(0,1). Покажем, что вектор l⁰ ∈S(0,1) определяется однозначно. Действительно, от противного приходим к существованию векторов _l⁽¹⁾,_l⁽²⁾ ∈S (0,1 ,) _l⁽¹⁾ ≠ _l⁽²⁾ , для которых