Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 32 из 49)

₀ ~ n

Лемма 3. Пусть ρ > 0 . Тогда для любого h∈H величина ∑l_ic_i , где l₁, ,l_n

i=1

– коэффициенты разложения (10), полностью определяется элементом h ∈ H ^∗ и не зависит от конкретного вида разложения (10).

~

Доказательство. Допустим противное. Тогда найдется h∈H , для кото-

рого

n n n n

h = ∑l_i 'h^{[ ]i} = ∑l_i ''h^{[ ]i} , ∑l_i 'c_i ≠ ∑l_i ''c_i . (11)

i=1 i=1 i=1 i=1

Из условий (11) выводим, что

∑(li '−li '')h[ ]i = 0, ∑(li '−li '')ci ≠ 0 . (12) i=1 i=1 n Первое равенство в (12) разделим на величину ∑(li '−li '')ci ≠ 0. Имеем
i=1
n (li '−li '') [ ]i ∑ h = 0. n i=1 ( ) ∑ l j '−l j '' c j j=1 Обозначим (l '−l '') li = n i i , i = 1, ,n . ∑(l j '−l j '')c j j=1 n Тогда ∑lici =1 и равенство (13) запишется в виде i=1 n n ∑lih[ ]i = 0, ∑lici =1. i=1 i=1			(13)

n n

Последнее означает, что 0∈Q, а это противоречит условию ρ⁰ > 0 . Лемма доказана.

Теорема 2 (достаточные условия разрешимости проблемы моментов). Пусть ρ⁰ > 0 . Тогда проблема моментов имеет решение – функционал ϕ⁰ . При этом

⁰ ∗ 1

ϕ = ₀ .

ρ

Доказательство. Определим функционал _ϕ^~: H^~ → R¹ , положив

_ϕ^~[ ]h = ∑n l_ic_i , h∈H^~ . (14)

i=1

Здесь l_i ,i =1, ,n – коэффициенты разложения (10). В силу леммы 3 функционал (14) определен однозначно. Кроме того, он линеен. Действительно, для всех

^~ α,β∈R¹, h,g∈H имеет место равенство _ϕ~[αh + βg]=_ϕ~⎡_⎢α∑n li[ ]^h h[ ]ⁱ + β∑n li[ ]^g h[ ]ⁱ ⎤_⎥ =_ϕ~⎡_⎢∑n

[ ] ^{[ ]} ci =

⎣ i=1 i=1 ⎦ ⎣ i=1 ⎦ i=1

n n

=α∑li[ ]h сi + β∑li[ ]g ci =αϕ~[ ]h + βϕ~[ ]g .

i=1 i=1

Выполнение равенств

ϕ~[h[i]]=ϕ~[0⋅h[ ]1 + +1⋅h[i] + + 0⋅h[n]]= ci , i =1, ,n.

для функционала _ϕ^~ очевидно.

Обозначим

⎛ l1 ⎞n

⎜ ⎟ ⎧⎫

l = ⎜ ⎟, L = ⎨l∑l_ic_i =1⎬

⎜⎝ln ⎟⎠ ⎩i=1 ⎭

и вычислим норму функционала _ϕ^~ как линейного функционала, определенного

~ на линейном нормированном пространстве H . Имеем:

=

По следствию из теоремы Хана-Банаха [16 ] линейный функционал _ϕ^~

~ может быть продолжен с подпространства H на все пространство H без увеличения его нормы. Обозначим это продолжение через ϕ⁰ . Легко видеть, что для функционала ϕ⁰ выполнены условия (6), а величина его нормы совпадает с нижней оценкой из теоремы 1 для нормы функционала, решающего задачу 1. Следовательно, функционал ϕ⁰ является искомым. Теорема доказана. Теорема 3(принцип максимина). Пусть ϕ⁰ ∈H ^∗ – решение задачи 1, h⁰ ∈Q

⎧ ^∗⎫

– «минимальный» элемент и G = ⎨ϕ∈H ϕ ⎬. Тогда

⎩⎭

ϕ⁰ (h⁰ )= max_ϕ[h⁰ ].

ϕ∈G

Доказательство. Для всякого функционала ϕ∈G справедливо

ϕ(h0 ) ≤ ϕ ∗ h0 = 10 ⋅ρ0 =1. ρ

С другой стороны, в силу леммы 1 имеет место равенство _ϕ(h ⁰ )=1. Теорема доказана.

Применим теоремы 1-3 к рассматриваемой линейной задаче теории оптимального управления. В результате получим следующее утверждение.

Теорема 4. Задача оптимального управления имеет решение тогда и только тогда, когда для r-мерной вектор-функции h⁰ (⋅), найденной из условия (7), где ⋅ определяется формулой (5), а

⎧ n [ ]i⎫

Q = ⎨h( )^{⋅ =} ∑l h_i ( )⋅

l∈L⎬,

⎩ i=1 ⎭

справедливо неравенство h = ρ⁰ > 0. При этом I , и оптимальное

управление на минимальном элементе h⁰обладает свойством максимума

T T

∫

h⁰ ( )τ , u ⁰ ( )τ dτ= max ∫ h⁰ ( ) ( )τ , uτ dτ. (15)

I

t0 _ρ t0

Опираясь на утверждение теоремы 4, сформулируем правило решения задачи об оптимальном управлении.

На первом этапе следует посредством формулы (5) ввести норму на линейном пространстве r -мерных функций Ω[t₀ ,T]. На втором – строится «минимальный» элемент h⁰ ()⋅ из условия (7), и на третьем – из условия (15) определяется оптимальное управление u⁰ (⋅).

4.2. Управляемость линейной динамической системы. Важной характеристикой динамической системы является ее управляемость. Определение 3. Линейная динамическая система

x = A t x( ) + B t u( ) (1)

называется вполне управляемой на промежутке времени [t T₀, ], если для любых векторов x₀,x_T ∈Rⁿ существует такое программное управление u( )⋅ , что для него выполняется равенство

x(⋅,t x u₀, ₀, (⋅)) = x_T .

Относительно системы (1) дополнительно предположим, что элементы матриц A t( ) и B( )t непрерывно дифференцируемы не менее чем n −1 раз по переменной t на промежутке времени [t T₀, ]. Полагаем

d d

L t₁ ( ) = B t( ), L₂ ( )t = A t L t( ) ₁ ( )−

L t₁ ( ), ,L_n ( )t = A t L( ) _n−1 ( )t − L_n−1 ( )t . dt dt

Сконструируем матрицу

K t( ) = (L t₁ ( ), ,L_n (t))

размера n×(r n⋅ ).

Теорема 5. Пусть существует момент времени t_∗ ∈[t T₀, ] такой, что rang K t⎡⎣ ( )_∗ ⎤_⎦ = n . Тогда система (1) вполне управляема на промежутке времени

[t T₀, ].

Доказательство. Достаточно установить, что для всех c∈Rⁿ, c ≠ 0 спра-

ведливо неравенство

n

ρ⁰ ( )c =

h⁰ (c,⋅) = min_n ∑l h_i ^{[ ]i} ( )⋅

∑l c_{i i} =1i=1

i=1

= min_n

(X T[ ,⋅]B( )⋅ )^T l =