Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 2 из 49)

x1 = a₁₁(t x) 1 + +" a_1n (t x) n +b₁₁(t u) 1 + +" b_1r (t u) r +c t₁( ),

.......................................................................................... (1)

xn = a_n1(t x) 1 + +" a_nn (t x) n +b_n1(t u) 1 + +" b_nr (t u) r +c_n (t),

где a_ij = a_ij (t), b_ik = b_ik ( )t , c_i = c t_i ( ), t ∈ R i j¹, , =1,", ,n k =1,",r - известные непрерывные функции времени.

Система дифференциальных уравнений (1) допускает векторноматричную запись

x = A t x( ) +B t u( ) +C t( ). (2)

Здесь обозначено

⎛⎜ x ⎞

x = ⎜⎜⎜⎜⎜⎜"x1n⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, u =⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜"uu1r ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, A t( )= ⎜⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜aa11n"1( )( )tt """ aa1nn"n ( )( )tt ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, B t( )=⎜⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜bb11n"1( )( )tt """ bb1nr"r ( )( )tt ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, C t( )=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜cc t1n"( )( )t ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

⎝

Векторы x∈ Rⁿ и u∈ R^r называются фазовым вектором и вектором управляющих параметров объекта, соответственно.

Система дифференциальных уравнений (1), или ее векторно-матричная форма (2), является математической моделью (с той или иной степенью точности) реального управляемого физического объекта. В дальнейшем эту математическую модель будем называть линейным управляемым динамическим объектом. Следуя [17], приведем примеры линейных управляемых динамических объектов.

Пример 1. Рассмотрим материальную точку массы m , движущуюся в вертикальной плоскости ξ η, в однородном поле тяжести (см. рис. 1). Управ-

ляющее воздействие на точку M осуществляет-

ся посредством реактивной силы f , возникающей в результате отделения от точки частиц с элементарной массой dm . Тогда масса точки M является величиной переменной, а движение точки описывается векторным дифференциальным

ξ уравнением Мещерского

Рис. 1

m dv = +mg ^dm a_r , (3) dt dt

где a_r - вектор относительной скорости отде-

ляющихся частиц. Проектируя уравнение (3) на оси выбранной системы координат, получим

mξ= ma cosαξ, (4) mη= ma cosα_η −mg.

Здесь α α_ξ, _η - углы, которые составляет вектор относительной скорости отделяющихся частиц с соответствующими координатными осями. Запишем систему (4) в нормальной форме

x1 = x₃,

^x2 = ^x4, (5) x3 = u₁, x4 = u₂ − g,

где

x₁ = = = = =ξ, x₂ η, x₃ ξ, x₄ η, u₁ a m cosα_ξ, u₂ = a _m^m cosα_η . _m

Векторно-матричная форма системы дифференциальных уравнений (5) имеет вид

⎛⎜⎜x ⎞⎟

⎜⎜⎜x

⎜⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜_xx1243⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛0₀₀0 0₀₀0 10₀₀ 10₀₀⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜_xx_xx₁₂43⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟+⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜₁0₀0 ₁00₀⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜⎝⎜⎜⎛_uu₁2 ⎠⎞⎟⎟⎟⎟+⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜−00_0g⎟⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎟.

Обычно физический объект можно моделировать линейными дифференциальными уравнениями лишь в дополнительных предположениях об области изменения его фазовых координат.

Пример 2. Рассмотрим упругий вал, несущий жестко насаженные маховики A B, и C (см. рис. 2). Система вращается вокруг оси вала с постоянной угловой скоростью ω , однако вследствие возмущений возникают крутильные колебания, которые необходимо успокоить управ-

ляющими моментами u u₁, ₂ , приложенными к ма-

ховикам A и C соответственно. Система имеет три степени свободы. В качестве обобщенных координат выбираются следующие величины: q₂ - угол отклонения маховика B от заданного движения системы ψ(t)=ωt t, ≥t₀; q q₁, ₃ - суть углы закручивания маховиков A и C соответственно относительно маховика B .

Пусть I_A,I_B,I_C - моменты инерции маховиков. Вычислим кинетическую энергию всей системы. Имеем

T = 12 IA (ω+ + +q1 q2 )2 12 IB (ω+ +q2 )2 12 IC (ω+ +q3 q2 )2 .

Обозначим через c c₁, ₂ крутильные жесткости соответствующих участков вала. Принимаем, что система работает в пределах деформаций, подчиняющихся закону Гука. Тогда потенциальная энергия системы определяется равенством

Π = 12 c q1 12 + 12 c q2 32 .

Из выражения для элементарной работы

δA=Q q₁δ 1 +Q q₂δ 2 +Q q₃δ 3 = + +u q₁δ 1 (u₁ u₂ )δq₂ +u q₂δ 3

следует, что обобщенные силы Q i_i, =1,2,3 выражаются равенствами

Q₁ = u Q₁, ₂ = +u₁ u₂,Q₃ = u₃ .

Составим уравнения Лагранжа

^d ⎛⎜⎜∂^T ⎞⎟

_dt⎜⎜⎝∂_qi ⎠⎟⎟⎟−∂∂_q^Ti =Q_i −∂Π∂_qi , i =1,2,3.

Получаем следующие три дифференциальных уравнения второго порядка:

I q_A1 + =I q_A2 −c q_{1 1} +u₁,

I_Aq1 + + +(I_A I_B I_C )q2 + = +I q_C 3 u₁ u₂, (6)

I q_C 2 + =I q_C 3 −c q_{2 3} +u₂.

Разрешим систему дифференциальных уравнений (6) относительно старших производных

q1 = − c1(IA + IB )q1 − c2 q3 + 1 u1,

I IA B IB IA

q2 = +^c1 q₁ ^c2 q₃, (7)

IB IB q3 = − c1 q1 − c2 (IB + IC )q3 + 1 u2.

IB IB + IC IC

Проведя замену переменных

x₁ = q₁, x₂ = q₂, x₃ = q₃, x₄ = q1, x₅ = q2, x₆ = q3 ,

запишем систему (7) в нормальной форме

x₁ = x₄, x2 = x₅, x₃ = x₆,

x4 = − c1 (IA + IB ) x1 − c2 x3 + 1 u1,

I IA B IB IA

x5 = +c1 x1 c2 x3,

IB IB

x6 = − c1 x1 − c2 (IB + IC ) x3 + 1 u2. (8)

IB IB +IC IC

Векторно-матричная форма системы дифференциальных уравнений (8) имеет вид

⎜⎜⎜⎜⎛ 00 00 00 10 10 00⎞⎟⎟⎟⎟⎟ ⎜⎛ 0 0 ⎞

⎜

⎟⎟ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜ 0 0 0 0 0 1⎟⎟⎟⎟⎜⎛ x ⎞

⎜⎜⎜_xx ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜⎜⎜− c ⁽II I+ I ⁾ 0 − Ic 0 0 0⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xx ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎟

⎟