Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 33 из 49)

∑l c_{i i} =1

i=1

=

(X T[ ,⋅]B( )⋅ )^T l⁰ ( )c > 0.

Допустим противное. Тогда существует вектор c^∗ ∈Rⁿ такой, что ρ⁰ (c^∗ ) = 0. Это возможно, если по переменной t на промежутке [t T₀, ] выполняется тождество

(X T t B t[ , ] ( ))^T l⁰ ( )c^∗ = (X T t L t[ , ] ₁ ( ))^T l⁰ (c^∗ ) = (L t₁ ( ))^T (X T t[ , ])^T l⁰ ( )c^∗ = 0 . (2)

Продифференцируем (2) по переменной t . Имеем

^d ⎡(L t( ))^T (X T t[ , ])^T l⁰ ( )c^∗ ⎤ = ^d ⎡(X T t B t[ , ] ( ))^T l⁰ ( )c^∗ ⎤ = _{dt ⎣ 1 ⎦ dt ⎣ ⎦}

⎛ d ⎞T 0 ∗ ⎛ d ⎞T T 0 ∗

= −_⎜ X T t A t B t[ , ] ( ) ( )+ X T t[ , ]

B t( )_⎟ l ( )c = −_⎜ A t B t( ) ( )+ B t( )_⎟ (X T t[ , ]) l ( )c =

⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠

⎛ d ⎞^T T 0 ∗ T T 0 ∗

= −_⎜ A t L t( ) ₁ ( )+

L t₁ ( )_⎟ (X T t[ , ]) l ( )c = (L₂ ( )t ) (X T t[ , ]) l ( )c = 0 . (3)

⎝ dt ⎠

Дифференцируя (3) по переменной t еще n−2 раза включительно по аналогии получим

dt^d ⎣⎡(L₂ ( )t )^T (X T t[ , ])^T l⁰ ( )c^∗ _⎦⎤ = (L₃ ( )t )^T (X T t[ , ])^T l⁰ ( )c^∗ = 0,

………………………………………………………

^d ⎡(L ( )t )^T (X T t[ , ])^T l⁰ ( )c^∗ ⎤ = (L ( )t )^T (X T t[ , ])^T l⁰ ( )c^∗ = 0 .

_{dt ⎣ n−1 ⎦ n}

t ∈[t T₀, ]. (4)

Обозначим

g c t( ^∗, ) = (X T t[ , ])^T l⁰ (c^∗ )∈Rⁿ, t∈[t T₀, ].

Заметим, что g c t( ^∗, ) ≠ 0 для всех t ∈[t T₀, ]. Перепишем тождества (2)-(4) в виде

(L t₁ ( ))^T g c t( ^∗, ) = 0, (L₂ ( )t )^T g c t( ^∗, ) = 0, ,(L_n ( )t )^T g c t( ^∗, ) = 0, t∈[t T₀, ]. (5) Из равенств (5) следует, что в любой момент времени t ∈[t T₀, ] ненулевой n−мерный вектор g c t( _∗, ) ортогонален каждому из столбцов матрицы K t( ). В том числе и в момент времени t_∗ ∈[t T₀, ] он ортогонален каждому из n линейно независимых столбцов матрицы K t( _∗ ). Последнее невозможно. Следовательно, ρ⁰ ( )c^∗ ≠ 0. Теорема доказана.

Пример 1. Покажем, что динамическая система из примера 2.7.

x₁ = x₃,

x₂ = x₄,

x₃ = (cost x) ₃ +tx₄ +u₁,

1

x₂ =

x₃ +(sint x) ₄ +u₂ t +1

но находим
⎛0 ⎜ ⎜0 A t( ) = ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝	0 0 0 0	1 0 cost 1 1+t	0 ⎞ ⎟ ⎛0 1 ⎜ ⎟ 0 t ⎟, L t1 ( ) = B = ⎜ ⎟ ⎜1 sint⎟⎟ ⎜⎜⎝0 ⎠	⎛ 1 0⎞ ⎜ ⎟ 0 d ⎜ 0 ⎟, L2 ( )t = A t L t( ) 1 ( )− L t1 ( ) = ⎜cost 0⎟ dt ⎜ ⎟ 1⎟⎠ ⎜⎜ 1 ⎝1+t	0 ⎞ ⎟ 1 ⎟ t ⎟, ⎟ sint⎟⎟ ⎠
⎛0 ⎜ ⎜0 K t( ) = ⎜1 ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝	0 1 0 ⎞ ⎟ 0 0 1 ⎟ 0 cost t ⎟ . ⎟ 1 ⎟ 1 sint⎟ 1+t ⎠
Вычислим определитель матрицы K t( ). Имеем

является вполне управляемой. Действительно, достаточно установить линейную независимость первых четырех столбцов матрицы K t( ). Последователь-

0

0 1 0

0 0 0 1 0 0 1

1 0

1 0 cost t0 t=1≠ 0 .

0 1

1 0 1 sint

0 1

sint

1+t

Таким образом, ранг матрицы K t( ) равен четырем при всех t ∈[0,1] и рассматриваемая динамическая система является вполне управляемой.

В частности, пусть A = const, B = const . Тогда K = (B AB, , , Aⁿ⁻¹B) и проверка полной управляемости системы (1) сводится к доказательству равенства rang K[ ] = n.

Пример 2. Покажем, что динамическая система из примера 2.3.

x₁ = 2x₁ + 2x₂ −30x₃ +u₁, x₂ =10x₁ − x₂ −35x₃ +u₂, x₃ = 2x₁ − x₂ + x₃ +u₃,

является вполне управляемой. Действительно, достаточно установить линейную независимость первых трех столбцов матрицы K . В силу

⎛1 ⎜ B = ⎜0 ⎜0 ⎝ этот факт очевиден.

0 1 0

0⎞ ⎟ 0⎟ 1⎟⎠

4.3. Управление по критерию «минимум энергии». Конкретизируем процедуру построения оптимального управления, описанную выше, для случая, когда минимизируемый функционал имеет вид

⎡^T ⎤

I[u()⋅ ]= ⎢∫

u( ) ( )τ , uτ dτ⎥ . (1)

⎢⎣t₀ ^⎥⎦

Эта величина играет роль оценки количества энергии, затрачиваемой в процессе управления динамическим объектом. Нетрудно видеть, что функционал (1) удовлетворяет условиям 1)-3) предыдущего пункта.

Для реализации первого этапа процедуры построения оптимального управления необходимо решить следующую задачу:

T T

∫

u( )τ , h( )τ dτ→ max, ∫ u( )τ , u( )τ dτ=1.

t0 t0

Эта задача является изопериметрической задачей вариационного исчисления. Ее решение записывается в виде

u_h ()

,

где постоянная λ∈R¹ вычисляется путем подстановки управления u_h (⋅) в уравнение связи. В результате вычислений получим

1 ⎡T ⎤

⎡T ⎤

λ= − 2 ⎢⎢⎣t∫0 h( ) ( )τ, hτ dτ⎥⎥⎦ , u_h ()⋅ = h()⋅ ⎣⎢⎢t∫0 h( ) ( )τ , hτ dτ⎦⎥⎥ .

Тогда норма на пространстве Ω[t₀ ,T] определяется формулой

⎡^T ⎤ ⎡^T ⎤ h()⋅ = ⎢∫ u_h ( )τ, u_h ( )τ dτ⎥ = ⎢∫ h( ) ( )τ, hτ dτ⎥ .