Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 5 из 49)

Доказательство. Необходимость теоремы вытекает непосредственно из определения 1 и следствия из леммы 1. Достаточность в части линейной зависимости системы решений _x⁽¹⁾(⋅),",_x^(s)(⋅) доказана в лемме 1. Наконец, если набор векторов _x⁽¹⁾(t₀),",_x^(s)(t₀) является линейно независимым при некотором значении t

R , то для системы решений _x⁽¹⁾(⋅),",_x^(s)(⋅)равенство

∑^s αi x( )ⁱ ( )t₀ = 0

i=1

невозможно ни при каких ненулевых наборах констант α1,",αs ∈ R¹ . Это означает, что система решений _x⁽¹⁾(⋅),",_x^(s)(⋅) не является линейно зависимой, и поэтому она линейно независима. Теорема доказана.

Определение 2. Линейно независимая система решений

_x⁽¹⁾(⋅),",_x⁽ⁿ⁾(⋅) (3)

дифференциального уравнения (1), где n - размерность вектора x, называется фундаментальной системой решений дифференциального уравнения (1). Теорема 2. Для уравнения (1) существует фундаментальная система решений, и любое решение этого уравнения может быть представлено как линейная комбинация решений, составляющих фундаментальную систему. Доказательство. Пусть набор векторов

e1,",en ∈ Rn

образует базис в Rⁿ . Определим систему решений (3) условиями

x⁽ⁱ⁾(t₀)= =e i_i, 1,",n .

По теореме 1 из линейной независимости векторов _x⁽¹⁾(t₀),",_x⁽ⁿ⁾(t₀) вытекает линейная независимость системы решений (3). Таким образом, существование фундаментальной системы решений для уравнения (1) установлено.

Покажем, что каждое решение x()⋅ уравнения (1) можно представить в виде

x( )t =∑ⁿ αi x^{( )i} ( )t , t ∈ R¹ .

i=1

Набор векторов _x⁽¹⁾(t₀),",_x⁽ⁿ⁾(t₀) является базисом в Rⁿ . Тогда для любого решения x(⋅) уравнения (1) найдется набор констант α1,",αn ∈ R¹ такой, что

n x( )t₀ =∑αi ^x( )ⁱ ( )t₀ .

i=1

Решения x()⋅ и ∑ⁿ αi _x^{( )i} ()⋅ имеют общее начальное условие и потому совпадают.

i=1

Теорема доказана.

Пример 4*. Рассмотрим однородную линейную систему дифференциальных уравнений третьего порядка

^x1 = + +x₁ 4x₂ x₃,

x2 = + +x₁ x₂ x₃, (4) ^x3 = 2x₁ −4x₂ + x₃.

Приведем векторно-матричную форму записи этой системы

⎜⎝⎛⎜⎜⎜xx123⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜112 −144 111⎠⎝⎞⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xxx123⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

⎜⎜x ⎠

⎜⎜

Покажем, что следующая система решений этого уравнения

⎜⎛2e ⎞

x( )1 ( )t =⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ e033tt ⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, x( )2 ( )t =⎜⎜⎜⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝7coscos−10t−t +cos2sinsint tt⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, x( )3 ( )t =⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜−43coscos−tsint−+sint2sint t⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, t ∈ R1

⎜

образует фундаментальную систему решений.

Сначала непосредственно проверяем, что каждый член системы

2e3t D t( )= e3t 0

7cost +sint cost−2sint −10cost

3cost−sint −sint . −4cost +2sint

_x⁽¹⁾(⋅),_x⁽²⁾(⋅),_x⁽³⁾(⋅) является решением уравнений (2). Далее составим определитель

Вычислим его значение при t = 0. Имеем

2 7 3

D( )0 =1 1 0= −10 ≠ 0.

0 −10 −4

Таким образом, D( )0 ≠ 0 и набор векторов _x⁽¹⁾(0), _x⁽²⁾(0), _x⁽³⁾(0) является линейно независимым. Тогда по теореме 1 система решений _x⁽¹⁾(⋅),_x⁽²⁾(⋅),_x⁽³⁾(⋅) уравнений

(2) является фундаментальной системой решений.

1.3. Фундаментальная матрица Коши. Пусть

x( )1 ()⋅ =⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛x1n( )( )"11 ((⋅⋅))⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,",x( )n ()⋅ =⎝⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xx1n( )( )"nn ((⋅⋅))⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎝⎜⎜⎜x

фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения (2.1). Для всех t ∈ R¹ построим квадратную матрицу Z(t) следующего вида

Z t( )=⎛⎜⎜⎜⎜⎜x1( )"1 (t)

" "

x1( )n (t)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟. "

⎜

⎝⎜⎜⎜xn( )1 (t) " xn( )n (t)⎠⎟⎟⎟

Из теоремы 1 следует, что матрица Z(t) является невырожденной при всех t ∈ R¹ и, следовательно, для всех t ∈ R¹ существует обратная матрица

⎛ζ1( )1 ( )t ⎜ Z −1 ( )t = ⎜ ⎜⎜ζn( )1 ( )t ⎝ Полагаем	ζ1( )n ( )t ⎞ ⎟ ⎟. ζn( )n ( )t ⎟⎟⎠
X [t,τ]= Z t Z( ) ( )τ = −1 ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝xx1n( )( )11"[[tt,,ττ]]	" x1n( )( )nn [[tt,,ττ]]⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟, t,τ ∈ R1 . " " " x

Определение 3. Матрица X [t,τ] , t,τ ∈ R¹ называется фундаментальной матрицей Коши для однородного дифференциального уравнения (2.1).

Установим ряд свойств фундаментальной матрицы Коши.

Теорема 3. Для всех t, ,τ s∈ R¹ имеют место равенства

⎛_⎜⎜⎜" " "1 " 0 ⎞⎟

X s s[ , ]= =E ⎜⎝⎜⎜^⎜⎜ ₀ " ₁ ⎠⎟⎟⎟⎟^⎟⎟⎟, . (1)

(X [t,τ])⁻¹ = X [τ, ,t] (2)

d

^X [t^,τ]= A t X t^{( )} [ ^,τ], (3)

_dt

d

dτ X t[ ,τ]=−X t[ ,τ] ( )A τ . (4)

Доказательство. Равенство (1) является простым следствием определения 3. Докажем равенство (2). Имеем

(X [t,τ])−1 =(Z t( ) Z−1 ( )τ )−1 =(Z−1 ( )τ )−1 Z−1 ( )τ = Z( )τ Z−1 ( )t = X [τ,t] .

Для вывода равенства (3) замечаем, что

n x_i^{( )j} [t,τ]=

x_i^{( )s} ( )t ζs^{( )j} ( )τ , ,i j =1,",n.

s=1

Тогда

⎜⎜⎛x( )[t,τ]⎞

x( )j [t,τ]=⎜⎜⎜⎜ 1n( )jj"[t,τ]⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=

s=n1 ζ j τ ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜xxi( )"ss ( )tt ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟.

⎜⎜⎜x

⎝

Таким образом, столбцы матрицы X[t,τ], t,τ∈[t₀ ,T] являются линейными комбинациями столбцов матрицы Z(t) и поэтому представляют собой решения уравнения (2.1). Последнее означает, что

^d x^{( )i} [t,τ]= A t x( ) ^{( )i} [t,τ] , i =1,",n ⇒ ^d X t[ ,τ]= A t X t( ) [ ,τ]. (5) dt dt

Для вывода равенства (4) продифференцируем по переменной τ очевидное тождество X[t,τ] [X τ,t]= E . Имеем