Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 42 из 49)

Resh3 ⁼

NDSolve x13' t == , x33' A9t Cos ^t @ D

x43'

,

x13

,

Resh4 =@ DD @ D@ D @ D @@DD< 8 @ D<E = x13@t

NDSolve x14' t x34 t ,x24' t == x44 t , x34' A9@ D

_x44',

x14 0,x34 , 888x41^@@ t@Dê^D<DêDD @ ^D; ^@@DêD @ ^{D< @}@^8D<<D<<^@@ ^DêDê <E =

^x118 ^t@ ^{, t t =} _x14 t

x11 t .Resh1,x31 t .Resh1,

t x42 t =

.Resh2,x32 t .Resh2, .Resh2 ; @

t , x43 t =

@@ DêDê < @ Dê.Resh3,x33@@ D<<D<<@@tDêDê.Resh3,

x44 t =

.Resh4,x24 .Resh4,x34 t .Resh4,

@ Dê <

x11 t x12 t x13 t x14 t

X

t_ ⁼x21x31^@@@@ttt@DD^DD@@x22x32x42DDD@^@@^@ttt^DD^DD x23x33@@^@@ttD^DD^D x24x34^@@@^@tt^DDD^Dy{;

@ ^Dx41 x43 t x44 t

Y

s = Inversek X s ;

MK@@Ds_D = X@1D.Y s ;

Построение подынтегрального и внеинтегрального выражений функции ипсилон

l1 0 0

L ⁼l20 y;B =i0 01 0y;

00 1

f2 Transpose B . τ .L ;

@DDf2DLL;

=

двух ветвей функции ипсилон

Eps1 l1_ = Dob1 −; Eps2^<<^DD;

u = −u;

l20AA ^{= −}èèA1 u^2,S@ D Eps1@@1DD;l10@ D D u;l208@ D⁼ èè1 − <u^2E EE;

Do u 1000.

If= ;m10 = u;

m20Eps1 u ;m10 = u;m20 = 1 − u^2 ;

If P >m10;l20 = m20 , i,200,220 ;

Print@ @"l₁₀=",l10," ","lD ₂₀=",l20," ",

"Eps0=",S

l₁₀=−0.791 l₂₀=−0.611816 Eps0=4.28152

Построение оптимального управления f1 , −Sign f2 ;

8

U10 t_ @ =D @ D<

8 @ D<ê.8@ D<t,l1 → l10,l2 →

;

Анализ оптимального управления

PlotU10 t , t,0,1 ,AxesLabel → "t","U₁"

Graphics

PlotU20 t , t,0,1 ,AxesLabel → "t","U₂"

Graphics

Интегрирование уравнений движения для оптимального управления

Resh =

NDSolve t x3 t ,x2' t x4 t ,

x3' t

U10D@tD, D

x4' t

t , x1 0,x3 ,

88 x1@@tDD,x2

8@tD@ D<@DêD8 @@D<D< 88@@DêD<<<E x18 t_@ D<=

x1 tt .Resh,x3 t .Resh, 8x4@@tDêDê@ D 8 @ D< 8 <D <

Plot x1t,0,1 ,

AxesLabel@8₁,x₂^"

x1,x2

Graphics

Координаты фазового вектора в конечный момент времени x1 1 ,x2 1

8

0.820538,0.770994@ D @ D< <

Вычисление финального расстояния

x1 1 −5 ^2+ x2 1 −4 ^2 ^

¹₂ −1

4.28151HH @ D L H @ D L L

Ввод произвольного управления

V10 t_ ,V20 t_ =

1,D<1D,If@t>0.9,−1,1D<

Интегрирование системы уравнений с введенным управлением

=

NDSolve t y3 t ,y2' t y4 t ,

y3' t + t ,

y4' t

∗ @ D tD,

y1,

@tD,y2 t=

88 ^@@t_@DêDD<,8y2@ D@<D<@8Dê@ D< 8 @@ DêD<< =

t .ReshY,y2 t .ReshY,

8y4tDê.ReshY

Координаты фазового вектора в конечный момент времени y1 1 ,y2 1

8

0.499235,0.651947@ D @ ^D< < 1

Вычисление финального расстояния HHy1@1D − 5L^2 ⁺ Hy2@1D − 4L^2L^

₂ − 1

4.60949

Пример 2.9

Область начальных положений фазового вектора

a = 5;b = 4;k = 1;

Plot ∗ a^2 − x^2,2 + k ∗ x + 3 , x, −a,a ,

a

AxesLabel → "x ","x "

Уравнения, описывающие границы области начальных положений фазового вектора 4 è

ϕ1x1,x2= x2 − ∗ 25 − x1^2;