Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 14 из 49)

Распишем подробнее левую часть условия (6). Имеем

⎛b11 ( )t BTр ( )t ψ= ⎜⎜ ⎜b1r ( )t ⎝

⎛ n ⎞ b t ψ bn1 ( )t ⎞⎛⎜ψ1 ⎞⎟ ⎜⎜∑k=1 k1 ( ) k ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ . bnr ( )t ⎟⎠⎜⎝ψn ⎟⎠ ⎜⎜∑n bkr ( )t ψk ⎟⎟⎟ ⎜ ⎝ k=1 ⎠

Тогда задача математического программирования принимает вид

n n ⎛u1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟

u₁ ⎜∑b_k1 ( )t ψ_{k ⎟}+ +u_r ⎜∑b_kr ( )t ψ_{k ⎟} → max, _{⎜ ⎟}∈P . (7)

⎝ k=1 ⎠ ⎝ k=1 ^{⎠ ⎜}⎝u_r ^⎟⎠

По теореме Вейерштрасса максимум в условии (7) существует для любой пары (t,ψ)∈[t T₀, ]×Rⁿ . Следовательно, можно определить вектор-функцию

U^ˆ :[t T₀, ]×Rⁿ → P , (8)

которая каждой паре (t,ψ)∈[t T₀, ]×Rⁿ ставит в соответствие вектор U t^ˆ ( ,ψ)∈P , доставляющий максимум в условии (7).

Пусть функция U^ˆ уже построена. Рассмотрим систему из 2n обыкновенных дифференциальных уравнений

⎧⎪⎨x = A t x( ) + B t U t( ) ˆTр( ,ψ)+C t( ), (10)

⎪⎩ ψ= −A ψ.

относительно 2n неизвестных x,ψ с 2n граничными условиями

x( ) ( ) . (11) x

Заметим, что в общем случае эта система нелинейная. Более того, функция U^ˆ может оказаться разрывной по переменной ψ, и тогда для системы дифференциальных уравнений (10) не будут выполняться условия существования решения. В случае, когда все же для задачи (10), (11) получено решение x⁰ (⋅),ψ⁰ (⋅), программная стратегия U⁰ ( )⋅ =U^ˆ (⋅,ψ⁰(⋅)) будет удовлетворять условиям теоремы 1, т.е. являться стратегией подозрительной на оптимальную стратегию.

2.2. Поведение функции Л.С. Понтрягина вдоль оптимальной пары

В предыдущем пункте (теорема 1) было доказано, что функция Понтрягина на оптимальном управлении принимает максимальное значение. Установим ниже некоторые общие свойства функции максимума (минимума).

Пусть F : X ×Y → R¹, X ⊂ Rⁿ ,Y ⊂ R^m – некоторая функция, непрерывная по совокупности своих переменных в каждой точке области определения. При этом множество Y компактное, а множество X – открытое. Положим

F ⁰(x)= max F(x, y), x∈ X , (1)

y∈Y

Y ⁰( )x ₌ {y⁰(x)F(x, y⁰(x))= F ⁰(x⁾}, x∈ X .

Лемма 1. Функция F ⁰ : X → R¹ , определенная равенством (1), является непрерывной в каждой точке x∈X .

Доказательство. Пусть x∈ X . Для всякого ∆x∈Rⁿ , x + ∆x∈ X положим

∆F ⁰ (x) = F ⁰ (x + ∆x)− F ⁰ (x)= F(x + ∆x, y ⁰ (x + ∆x))− F(x, y ⁰ ( )x ).

Справедливо двойное неравенство

F(x + ∆x, y ⁰ (x))− F(x, y ⁰ ( )x )≤ ∆F ⁰ (x) ≤ F(x + ∆x, y ⁰ (x + ∆x))− F(x, y ⁰ (x + ∆x)), (2) из которого следует, что ∆F ⁰ (x) → 0 при ∆x → 0. Лемма доказана.

Определение 1. Будем говорить, что многозначное отображение χ: X → 2^Y , где через 2^Y обозначено множество всех подмножеств множества Y , называется полунепрерывным сверху по включению в точке x_∗ ∈ X , если для всякой последовательности {_x^{( )s} } → x_∗ и {_y^{( )s} } → y_∗, _y^{( )s} ∈χ(_x^{( )s} ), s =1,2, имеет место включение y_∗ ∈χ(x_∗).

Заметим, что если отображение χ однозначно, т.е. множество χ(x) состоит ровно из одного элемента при всех x∈ X , то из полунепрерывности сверху по включению этого отображения следует его непрерывность в обычном смысле.

Лемма 2. Многозначное отображение Y ⁰ : X → 2^Y полунепрерывно сверху по включению в каждой точке x∈X .

Доказательство. От противного приходим к существованию точки x_∗ ∈ X и таких последовательностей

{ }x_s → x_∗, x_s

Y, y_s⁰ ∈Y ⁰ (x_s ), s =1,2 ,

что y_∗ ∉Y ⁰ ( )x_∗ . Тогда найдется число ε> 0, для которого

F ⁰ (x_∗)− F(x_∗, y_∗)=ε. (3)

Из непрерывности функций F,F ⁰ и сходимости последовательностей {x_s },{y_s } к точкам x_∗ , y_∗ , соответственно, для достаточно больших номеров s будут справедливы неравенства

F ⁰ ( )x_∗ − F ⁰ ( )x_s F(x_∗, y_∗)− F(x_s , y_s⁰ ) _< ^ε. (4)

3

Учитывая, что F

, , из соотношений (3),(4) выводим

ε= F ⁰ ( )x_∗ − F(x_∗, y_∗)=

F ⁰ (x_∗)− F(x_∗, y_∗) ≤

≤ F 0 ( )x∗ − F 0 (xs ) + F(xs , ys0 )− F(x∗, y∗) < ε + ε = 2ε<ε.

3 3 3

Получили противоречие, которое и доказывает лемму.

Дополнительно предположим, что функция F непрерывно дифференцируема по переменной x в области X , а множество Y ⁰ (x) состоит ровно из одного элемента y ⁰ (x) при всех x∈ X . Тогда, как отмечалось выше, функция y ⁰ : X → R^m будет непрерывной в каждой точке x∈ X .

Теорема 2. В принятых предположениях функция F ⁰ : X → R¹ непрерывно дифференцируема в каждой точке области определения и при этом имеет место равенство

∂ 0 ∂∗ 0

F ( )x = _∗ F(x, y ( )x ), x∈ X , (5) ∂x ∂ x

где индекс «∗» в обозначении производной по векторному аргументу x в правой части (5) означает, что эта производная вычисляется без учета зависимости y ⁰ от x∈ X .

Доказательство. По формуле конечных приращений [7] из двойного неравенства (2) находим

F(x, y ⁰ (x + ∆x)), ∆x + o ∆x ≤ ∆F ⁰ ( )x ≤ F(x, y ⁰ ( )x ), ∆x + o ∆x . (6)

Из соотношений (6) с учетом непрерывности функции y ⁰ следует, что

∆F ⁰ ( )x = F(x, y ⁰ ( )x ), ∆x + o ∆x .

Последнее условие означает дифференцируемость функции F ⁰ в точке x∈X и справедливость равенства (5). Из непрерывности правой части равенства (5) следует непрерывность и его левой части. Теорема доказана.

Докажем одно важное свойство функции Л.С. Понтрягина.

Теорема 3. Пусть A= const B, = const C, = const и тройка U ⁰ ( )⋅ ,x⁰ (⋅),ψ⁰ (⋅) удовлетворяет условиям теоремы 1. Тогда функция Л.С. Понтрягина