Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 25 из 49)

имеем

− 19 µ µ ψ1 + 2 = 1 ( )0 , 16 µ µ ψ1 − 3 = 2 (0), 13 µ µ ψ1 − 4 = 3 ( )0 ,

⎡ x1 x3 x2 ⎤

µ₁ ⎢

+ + −1⎥ = 0, µ₂x₁ = 0, µ₃x₂ = 0, µ₄x₃ = 0,

_⎣(−9) 6 3 _⎦

µ₁ ≥ 0, µ₂ ≥ 0, µ₃ ≥ 0, µ₄ ≥ 0 . (19)

Условия (19) однозначно определяют следующий набор параметров:

µ₁ = 2050.13,µ₂ = 346.69,µ₃ = 468.885,µ₄ = 0, x₁₀⁰ = 0, x₂₀⁰ = 0, x₃₀⁰ = 3.0 .

Проинтегрируем систему(18) с полученными начальными условиями

⎛ x₁₀⁰ ⎞ ⎛ ⎞0

⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟

x( )0 = ⎜ x20 ⎟ = ⎜ ⎟0

⎜⎝ x300 ⎟_⎠ ⎜ ⎟_{⎝ ⎠}3

и вычислим значение функционала на оптимальном управлении. Имеем

I U⎡_⎣ ⁰ (⋅)⎤_⎦ = −2344.02.

В примере 3 значение функционала на оптимальном управлении было «хуже» и равнялось величине −366.188. Такой результат является ожидаемым, так как

⎛−3⎞

начальная точка x_{0 =} ^⎜_⎜ 2 ^⎟_⎟ из примера 3 принадлежит множеству S₀ данного

⎜⎝ 1 ⎟⎠

примера.

2.6. Минимизация расстояния до целевого множества в случае подвижного левого конца траектории. Рассмотрим частный случай задачи 2, исследованной в пункте 2.5. Именно, будем предполагать, что функция Φ , определяющая критерий качества, имеет смысл евклидового расстояния от проекции фазового вектора на часть своих (k первых (k ≤ n)) координат до некоторого выпуклого компактного множества M ⊂ R^k . Относительно множества S₀ ∈Rⁿ дополнительно предположим, что оно выпукло.

Пусть

Γ(t S T₀, ₀, ) = ∪ G t x T( ₀, ₀ , ).

x0∈S0

Из непрерывной зависимости области достижимости от начального положения x₀ ∈S₀ (см. формулу Коши) компактности и выпуклости множества S₀ следует, что множество Γ(t S T₀, ₀, ) ⊂ Rⁿ также является компактным и выпуклым. Предположим, что выполняется {Γ(t₀,S T₀, )}_k ∩ M = ∅. Полагаем

ε⁰ = min{ε> 0

{Γ(t₀,S T₀, )}k ∩ M^ε ≠ ∅}.

Из компактности множества Γ(t S T₀, ₀, ) следует существование минимума в правой части последнего равенства и справедливость соотношения

ε⁰ = I U⎡_⎣ ⁰ (⋅)⎤_⎦ > 0.

Вычислим величину ε⁰ . По теореме 1.30 [22] условие

{Γ(t₀,S T₀, )}_k ∩ M^ε ≠ ∅ будет иметь место тогда и только тогда, когда

q∈ Γ{ min(t S T0 0, , )}k l q, ≤χ(^{M ε}, ),l ∀ l ∈ S(0, 1)⁼{s ∈ R^k s =1}.

Отсюда следует, что

ε⁰ = min⎨⎧ε> 0 min l q, ≤ χ(M^ε, )l ∀ ∈l S (0, 1) _⎬^⎫ =

⎩q∈ Γ{ (t_{0 0},S T, )^}k ⎭

⎡⎤

= max ⎢−maxm M∈ m l, + q∈ Γ{ min(t S T0 0, , )}k q l, ⎥⎦ . (1) l S∈ (0,1) ⎣

По аналогии с пунктом 2.4. можно показать, что максимум в (1) достигается на единственном векторе l⁰ ∈S(0,1) и получить другую форму записи равенства (1)

⎡^Тр ∗T Тр ∗

0

ε = maxl=1 ⎢−maxm M∈ m l, + minx0∈S0x₀, X T t[ , ₀ ] l⁺ ∫minu P∈B( )τ u X, [T,τ τ]ld +

⎢⎣ t₀

T ⎤

+∫ C( )τ , X^Тр[T,τ τ]l^∗ d ⎥ . (2) t0 ⎥⎦

⎛ l ⎞

⎜ ⎟

^{∗ ⎜} 0 ^⎟∈Rⁿ .

Здесь обозначено l ₌

⎜ ⎟

⎜⎜⎝ ₀ ⎟⎟⎠

Теорема 7. Пусть ε⁰ > 0 и пара

, U ⁰ ( )⋅ ∈Π[t T₀, ] является

решением задачи оптимального управления. Тогда

x₀⁰, X^Тр[T t, ₀ ]l^0∗ = min x₀, X^Тр[T t, ₀ ]l^0∗ (3)

x0∈S0

B( )t U ⁰ ( )t , X^Тр[T t l, ] ^0∗ = min B t u( ) , X^Тр[ (4)

u P∈

⎛l⁰ ⎞

⎜ ⎟

при почти всех t ∈[t T₀, ], где l^0∗ = _⎜^{⎜0 ⎟}_⎟∈Rⁿ .

⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠

Доказательство. Из равенства (2) при l^∗ = l^0∗ выводим

T

0 = −max m l, 0 + minx0∈S0 x₀, XТр[T t l, ₀ ] 0∗ + ∫minu P∈ B( ) ( )τ τu , XТр[T,τ τ]l0∗ d +

t₀

T

+∫

C( )τ , X^Тр[t,τ τ]l^0∗ d .

t₀

Пусть нарушается какое-либо из условий (3) - (4). Тогда одно из неравенств (или оба сразу)

x00, XТр[T t l, 0 ] 0∗ ≥ min x X0, Тр[T t l, 0 ] 0∗ ,

x0∈S0

TT

∫ B( )τ U ⁰ ( )τ , X^Тр[T,τ τ]l^0∗ d ≥ ∫minu P∈ B( ) ( )τ τu , X^Тр[T,τ τ]l^0∗ d . (5)

t0 t0

будет строгим. По аналогии с пунктом 2.4 с учетом условия (5) вычисляем

0 0 0 0 ⎡0⎤

ε = I x U⎡_⎣ 0 ,

m M∈

T

( )⋅ ⎤_⎦ = ^ρ({x ( )T }k ,M ) = maxl=1 ⎣_⎢−maxm M∈ m l, + {x ( )T }k ,l_⎥⎦ =

t₀

+ x₀⁰, X^Тр[T t l, ₀ ] ^0∗ B( )τ U ⁰ ( )τ ,

X^Тр[t,τ τ]l^0∗d > −max m l, + min x₀,

m M∈ x₀∈S₀

T T

+∫minu P∈ B( )τ u X, ^Тр[T,τ τ]l^0∗ d + ∫ C( )τ , X^Тр[t,τ τ ε]l^0∗ d = ⁰ .