Оптимальное управление линейными динамическими объектами (стр. 15 из 49)

H t x( , ⁰ ( )t ,U ⁰ ( )t ,ψ⁰ ( )t ) = ψ⁰ ( )t , Ax⁰ ( )t + BU tˆ ( ,ψ⁰ ( )t )+C ,

вычисленная вдоль оптимальной пары (x⁰ (⋅),ψ⁰ (⋅)), остается постоянной на всем промежутке времени [t T₀, ].

Доказательство. Вычисляем

d 0 0 0 d 0 0 d 0 0

ψ ( )t , Ax ( )t + BU ( )t +C = ψ ( )t , Ax ( )t + ψ ( )t , BU ( )t +C=

dt dt dt

^{0 00 0} d ⁰ ˆ (ψ⁰ ( )t )+C =

= ψ ( )t , Ax ( )t + ψ ( )t , Ax ( )t + ψ ( )t , BU dt ^{Тр 0 0Тр 0 0} d ⁰ ˆ (ψ⁰ ( )t )

= −A ψ ( )t , Ax ( )t + A ψ ( )t , x ( )t + ψ ( )t , BU

dt

= −A^Трψ⁰ ( )t , Ax⁰ ( )t + A^Трψ⁰ ( )t , Ax⁰ ( )t + BUˆ (ψ⁰ ( )t )+C ₊ ^d ψ⁰ ( )t , BUˆ (ψ⁰ ( )t )+C =

dt

= − ψ ( )t , BUˆ (ψ⁰ ( )t )+C ₊ ^d ψ⁰ ( )t , BUˆ (ψ⁰ ( )t )+C=

dt

^{0 ˆ} (ψ⁰ ( )t ) + d ψ⁰ ( )t , BU^ˆ (ψ⁰ ( )t ). (12) = −ψ ( )t , BU

dt

В силу теоремы 2 справедливо равенство

^d ψ⁰ ( )t , BUˆ (ψ⁰ ( )t ) ₌ ^∂_∗^∗ ψ⁰ ( )t , BUˆ (ψ⁰ ( )t ) = ψ⁰ ( )t , BUˆ (ψ⁰ ( )t ) . dt ∂ t

Тогда из (12) следует, что

d 0 0 00 0 0 ψ ( )t , Ax ( )t + BU ( )t +C= 0 ⇒ψ ( )t , Ax ( )t + BU ( )t +C= const .t ∈[t T₀, ].

dt

Теорема доказана.

2.3 Частные случаи геометрических ограничений на вектор управляющих параметров. Иногда функция (1.8) может быть выписана в явном виде. Рассмотрим два таких частных случая.

Случай 1. Пусть

⎧ _r r ( )ui 2 ⎫⎪

⎪

P = ⎨u∈R ∑ 2 ≤1⎬, a_i > 0, i =1, ,r . ⎪⎩ i=1 ( )a_i ⎪_⎭

Задача математического программирования по определению функции U^ˆ состоит в максимизации линейной формы (1,7) при квадратичных ограничениях

2

1.

i=1 ( )ai 2

Решение этой задачи приводится в примере 1.4.3 книги [22]. Ее решением при ус-

⎛Uˆ ¹ (t,ψ)⎞

⎜ ⎟

ловии, что ψ≠ 0, служит вектор U t^ˆ ( ,ψ) = ⎜ ⎟∈P , для которого

⎜⎜⎝Uˆ r (t,ψ)⎟⎟⎠

2 ⎛ ⁿ ⎞ ai ⎜∑bki ( )t ψk ⎟

U^{ˆ i} (t,ψ) ₌ ^{⎝ k=1 ⎠} , i =1, ,r . (1)

2

n ⎛ n ⎞ 2

∑ ∑⎜ bks ( )t ψk ⎟ as

s=1 ⎝ k=1 ⎠

В частности, если a₁ = = a_r = a, то формула (1) принимает вид

⎛ ⁿ ⎞

⎜∑b_ki ( )t ψ_k ⎟

U^{ˆ i} (t,ψ) = a ^{⎝ k=1 ⎠} , i =1, ,r .

2 n ⎛ n ⎞

∑∑_⎜ b_ks ( )t ψ_k ⎟

s=1 ⎝ k=1 ⎠

Пример 2*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект

x₁ = x₂ +u x₁, ₂ = −x₁ +u₂, t∈[0,π];

⎛u1 ⎞ ⎧ ⎛u1 ⎞ 22 2 ⎫

u = ⎜ ⎟, u∈P = ⎨u = ⎜ ⎟∈R

u₁ +u₂ ≤1⎬, x₁ ( )0 = −3, x₂ ( )0 = 2;

⎝u2 ⎠ ⎩ ⎝u2 ⎠ ⎭

I U⎡_⎣

⎤_⎦ x x .

Здесь

⎛ 0 A = ⎜ ⎝−1

1⎞ ⎟, 0⎠

⎛1 B = ⎜ ⎝0

0⎞ ⎟, 1⎠

Φ( )x = 3x12 + 2x22

Сформулируем задачу математического программирования (1.7)

Функция (1.8) здесь имеет вид

⎛ ψ₁ ⎞

⎜⎟

U t^ˆ ( ,ψ) = _⎜^⎜_⎟^⎟,ψ≠ 0, (2)

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

система дифференциальных уравнений (1.10) и граничные условия (1.11) записываются так:

ψ1

x1 = x2 +,

ψ ψ12 + 22 ψ²

x₂ = −x₁ +, (3)

ψ12 +ψ22

ψ₁ = −ψ₂, ψ₂ =ψ₁,

x₁ ( )0 = −3, x₂ ( )0 = 2,ψ₁ (π) = −6x₁ (π ψ π), ₂ ( ) = −4x₂ ( )π . (4)

Общее решение сопряженной системы находится независимо от остальных уравнений системы

ψ₁ (t c c, ₁, ₂ ) = c₁ cost +c₂ sin ,t ψ₂ (t c c, ₁, ₂ ) = c₂ cost −c₁ sint. (5)

Преобразуем первые два уравнения в (3) с учетом (5)

(c cost +c sint)

и проинтегрируем полученную систему

tc¹ cost tc² sint

x₁ (t c c c c, ₁, ₂, ₃, ₄ ) = +c₃ cost + + c₄ sint , c +c c +c

x₂ (t c c c c, ₁, ₂, ₃, ₄+c₄ cost − −c₃ sint . (6)

Граничные условия (4) принимают вид

⎛ ^πc1 ⎞ ⎛ ^πc2 ⎞

c₃ = −3, c₄ = 2, −c₁ = 6⎜+ c₃ ⎟, −c₂ = ₄⎜+ c₄ ⎟ . (7)

⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠ ⎜⎝ c12 +c22 ⎟⎠

Решением нелинейной системы уравнений (7) будут числа

c₁^∗ = 2.0562, c₂^∗ = −1.2967, c₃^∗ = −3, c₄^∗ = 2.. (8)

Подставляя найденные константы в (5) определяем вектр-функцию ψ⁰ (⋅), а из

(2) - оптимальное программное управление

⎛

⎞ ⎛ c₁^∗ cost +c₂^∗ sint ⎞

⎜ 02 02 ⎟ ⎜ ∗2 ∗2 ⎟ ^{0 0} ⎜ ψ¹ ( )t +ψ² ( )t ⎟ ^⎜ c¹ +c^{2 ⎟}